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有理函数图3

Sal画出 y=(x^2)/(x^2-16). Sal KhanCK-12 Foundation 创建

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在这个视频中,我们将学习 画有理函数得图 一个有理函数就是函数得 分子和分母上有表达式 它再分子上有多项式——我们来看看 这又x平方除以——分母上的另一个多项式 ——x平方减去16 我们明显可以通过求很多点 然后把点连起来画成图 这是计算器给我们 做的事 但我们想做的,在我们想通过画点 填补空白前,我首先想要理解 这幅图的基本结构 为了理解,我想要知道当x变得 很大时,或x变得非常非常小时, 即x向负方向,会发生什么 另一种思考方式是,我想要知道 当x的值变得很大时,或者x的绝对值 变得很大时,趋近于非常非常大, 或者趋近于无穷时会发生什么 当x趋近于无穷时 也就是说x向正方向走到很远 或者x到负方向走了很远 函数的值会 发生什么? 让我们拿出计算器 暂时不用绘图功能,就是尝试 几个值而已 x等于10时会发生什么? 这和当x等于-10的时候 一样,因为当你把这带入-10, 平方后得100,就和10一样 这也是,-10,你平方后和 正10是一样的 所以无论你带入非常大得正数或者 非常小得负数,当你趋近于 正负无穷时,趋近的数是一样的 因为你需要平方这个值 但让我们来试几个数 如果我有10平方除以10平方 减16,我得到1.19 如果x变大一点会发生什么? 这是x等于10 x等于100的时候会怎样? 我们会有100平方除以100平方减16 我们得到更接近1的值 当x是10时,就在这,我们得到y是1.19 当x等于100, 100平方除以100平方 减16,y是1.0016 出于兴趣,我们再试试1000 这里是1000平方除以1000平方减16 我们更接近1了 当x变得越来越大 y变得越来越接近1 如果这是一个-10也成立 因为-10平方除以-10平方减 16是同样的值 因为负数平方后 将变成正数 这和10平方是一样的 和这一样 无论x变得极大或极小,我们 都将得到y趋近于1 如果你想试的话,我们可以尝试1百万 你会得到更接近1的数 当x趋近于无穷,x的绝对值, 或者距离原点的距离趋近于无穷, y趋近于1 另一个思考方式是绘制该方程的 图像发现其趋近于y等于1的线 让我画一下y=1这条线 我用虚线画,因为这不是 函数的一部分,只是函数趋近 的一条线 这就是y=1这条线 现在,函数或者函数图像 趋近于这条线但用不接触 所以这会越来越接近这条线 y=1,在这个方向,但永远都 不会接触到 它将趋近于0,其到y=1的距离, 但永远都不会接触 图像趋近的那条线 叫做渐近线 这会变得更清晰 在我画出方程的图像后 我们刚刚做的工作 既然这是水平线,我们把它称作 水平渐近线 这是我们图像向 正无穷或负无穷逼近时趋近的线 我们来想一想关于这个函数 其他有意思的事 其中一个你能想到的 就是平方的差 这是x平方,减去4平方 所以我们可以写成x平方除以x+4 乘x-4 当x趋近于正4或负4时 会发生什么? 首先,试着算这几个值 如果x等于4,会发生什么? 这个表达式,就是这项,会 变成0 我们会除以0 但我们不能这样做 同样,当x等于-4时 我们又要除以0 这个表达式,就是这个,会变成0 我们不能这样做 我们可以说当x等于正负4时 函数未定义 我们不能等于这些值,因为这回让 我们变成除以0的情况 现在,我们若趋近这些值会发生什么? x趋近于-4时会发生什么? 我们来试着做一下 x趋近于-4时会发生什么? 假设我们从左边开始趋近 我们用计算器算一下 假设我们想从负方向趋近 比如从-4.1开始 我们有负4.1平方除以 负4.1平方减16,得到什么? 我们得到20.75 我们会得到这个数字 让我们试试更加接近-4 让我输入一下 让我们更接近-4 与其负4.1,让我们尝试下负4.01 让我在这插入负4.01 这里是负4.01 让我们看看 我们得到200,所以 数值越来越大 我们试试负4.001 再试一下 哇,这不是我想做的 我想这样做 再试一下 这不是我想做的 让我看一下 我们想要用4.001,而不是4.01 负4.001 我们得到什么? 我们得到2000 当我们从负方向越来越 接近-4时,我们趋近的值 也越大 如果你想试,假设这是4.0000001,这就得到 越来越小的数——抱歉,应该是越来越大 的数 如果你用4.001,可能这里时20000 如果你再加一个0 当我们越来越接近 值也越大 所以我们可以说,当x趋近于负4时 y趋近于正无穷 这里的值越来越大 但我们不能到达x等于4 这里没有定义 这会让分母变成0 所以我们想要做的是,我们永远不能让 x等于负4 让我看下,x等于1,2,3,4 我们永远不能让x等于负4 让我把x等于负4用虚线 画出来 这就是x等于负4 我们从负方向逼近但永远到达不了 我们有4.1, 然后4.01, 我们得到了 越来越大的值 我们也知道我们是从左边出发, 我们走到x越来越大的地方,y也会越来越 接近1 所以你现在知道了这部分的图像 大概长什么样了 这个部分的图像是 长这样的 当x变成极小的负值时,它越来越 趋近1,当x从负方向越来越趋近-4时, y就越来越接近 无穷 你会得到越来越接近—— 它会越来越大,这样说 可能更容易理解 现在,就像x等于负4一样,x等于4 也是图像未定义的一个点 让我在这把图画出来 1,2,3,4 就在这 就在这 x等于4 同样,当x趋近于4的时候会发生什么 假设我们从正方向趋近? 当x从正方向趋近于4时 将发生什么? 这就类似尝试x等于4.01,或者x等于 4.001,或者x等于4.0001 我们距离x等于4 越来越近 这些值我们已经在计算器上 计算过了,除了我们用的是 他们的负值,对吧? 我们一直看到,由于这个方程的 设置原因,负数会平方,所以 无论你带入正数还是负数, 结果都一样 这个图象是对称的 x等于负5和x等于5 是一样的 x等于负10和x等于10 是一样的 是一模一样的情形 你想试的话可以用计算器再算一次 如果你实验这些值,当我们越来越 接近4时,我们的值也 越大 和这边的值一样 所以这边的图像,当我们趋近4时 我们也趋近越来越大的数 就在这,当x越来越大时 我们这里看到的一样, 我们有水平渐近线 y趋近于1 正如我们叫它水平渐近线 这些值——或者你把这些垂线看成: x等于负4和x等于4——我们称其为 垂直渐近线 这些线叫渐近线,再强调一次 图像趋近于这些线,但永远不会接触 这就是这里的情况 然后我们可以思考下这幅图里面 发生了什么 我们可以用几种方式思考 你可以说,当x从负方向趋近于4时 发生了什么? 我们试一下从负方向趋近 如果你用3.9平方除以3.9平方减16 会发生什么? 你会得到负19.25 如果我们用3.99会发生什么? 让我在这加一个9 所以我们越来越接近4,我们 从左手边来趋近4 来解这题 插入一个9 更加负值了 让我们再试一个点 所以我们的值越来越负数 让我们试试3.999 更加接近4 你会得到更加负数的值 这对于负3.9或者负3.99, 或者负3.999也一样,因为我们要对其 平方,所以正数负数都一样 你对负1平方,你得到正1 当我们趋近于4——从3.9,3.99 越来越接近4——我们得到越来越 负的值 我们趋近于负无穷 当我们趋近——让我在这里画一下 当我们从这个方向趋近,我们得到 更小的值——我们不想碰到渐近线—— 这看上去像这样 当我嗯从左侧趋近它,我们 得到越来越小的数 这对于我们从右侧趋近负4 也成立,对吧? 当我们用负3.9,3.99, 3.999,我们 会向下走 看上去像这样 我们现在已经对图像有了一个大概的感觉 现在我们可以在这 画几个点了 最简单的一个是,当x等于0时会发生什么? 你有0平方除以0平方减16 当x等于0时,我们有0 除以负16,也等于0 所以点0,0在曲线上 我们还能试一下其他点 但总体的形状看上去 会是这样 如果你真的想画精确一些 你可以多画几个点,但大致 就是这个结构 我们在计算器上试了好几个值 我这样做是为了向你们展示 为什么会像这样下降 如果你思考一下,这完全合理 当你越来越接近 比如说4 不管怎样,当你接近4的时候, 这个值会越来越小 因为这是x和4之间的差 所以这里会变成越来越 小的值 然后,你用1除以这个差对吧? 你可以看成这是x平方除以x加4,或者 乘以1除以x减4 如果这里越来越小,整个东西 1除以一个非常小的值是非常大的数 所以你可以想想,取决于你趋近的方向 无论从正方向还是负方向,值会越来越大 所以无论这是一个非常小的负值还是 非常小的正数,这会让 符号相反 不管怎样,幅值——我们会在负方向 得到非常大的幅值,因为 x和4的差在这个方向 是负数,对吧? 3.9减去4是0.1 求倒数,是10 所以我们在这是负数 你求倒数,你会得到一个非常大 的负数 我很想让你有这个直觉 但一般画此类方程图像的方法是, 你首先需要求出 水平渐近线 当x的绝对值非常大时 也就是非常大的正数或者负数 会发生什么 你可以计算器上试一下 如果你用一百万或者十亿 计算器会给你这个答案 但你也可以这样想,当x 越来越大,你可以把这个看成,这里的项 增长的会快很多——我的意思是 这里是常数项 这个项不再重要 如果这里时一百万和一百万,谁还在乎 这里的16呢? 所以当x变得越来越大,你可以说y 大致等于x平方除以x平方 这两项占主导 你不再需要考虑16 当然, 这等于1,就和我们得到的 一模一样,当们代入很大的数的时候 在这类问题里,当你有一样的因数 或者分子分母上有同样的幂 你需要观察这些项的因数 在这个情况下,因数时1和1 所以我们的水平渐近线就是1除1 或者y等于1 如果这里是2x平方除以x平方减16 我们的水平渐近线就是y等于2 我们会接近上面的这条线 如果是负2,我们的水平渐近线就是 y等于负2 这就是当分子分母上有同样次幂项 时如何找到水平 渐近线 如果分母上的幂更高 这样分母的增长速度会 远大于分子,这样渐近线就是0 我之后会给你展示一个例子 很显然,当你的分子的幂比分母 更高时,其会比分母增长快得多 你就不会有渐近线 它就会不停增长 或者朝负方向 这就和我们已经见过的多项式 是一样的 你可以认为它们是除以1的分数 在这个情况下,没有水平渐近线 对于垂直渐近线,你其实只需要 对分母因式分解 求其等于0的情况 这些点是没有定义的点 我之后会给你展示一些特例 也就是没有垂直渐近线的情况 比如一个例子 好吧,我现在先不展示了 我会在后面的视频展示 但总体上,如果你分解分母因式 但其不能抵消,你就会和 一条垂直渐近线打交道 如果我在这还有一个x减4,如果我的分子 是x平方乘以x减4,然后这些抵消 我的表达式会简化成这样,这个方程 在x等于4的时候还是没有定义 因为分母会变成0 但既然x减4和分子上的x减4 抵消掉,其就不是 一条垂直渐近线 我们以后会学习的 但这个方程不存在这个情况 对于找到垂直渐近线的一般准则 就是对分母因式分解,找到 使分母等于0的解,然后看这些解是否 会和分子的项抵消,然后 这些值就是垂直渐近线 找到趋近于渐近线的趋势 你可以试着画几个点 你可以试着画几个点 你可以把x带入求 y等于多少 来验证一下我们做的是否正确 让我们实际画一下这个有理方程 让我把它打开 让我们一起画一下 我们说y等于x平方除以x平方 减16 看看我们得到什么 不对,我想画出来 我的定义域有问题 让我来定义一下范围 让我看看,我想要x的最小值 是负10 我想要的x最大值是10 x比例是1,y的最小值我想要的是负10 我想要的y的最大值是10 然后y的比例设为1 我们现在画一下 好了 看看这个 就和我们画的一样 我们有一条渐近线,当x变得越来越大 或者越来越小,渐近线是y等于1 我们有垂直渐近线 它画出来了是因为连接点的缘故 实际上也画出来了我们的渐近线 但图像其实并不包含它们 当我们从0趋近于4,我们可以说 我们会到达非常小的负值 当我们从0趋近负4,我们得到非常小的负数 因为在任意一个情况下,当你从这边趋近4 这一项就会变成负数 当你从这侧趋近4,这一项 就在这,会变成——这一项会 变成正数,但这里的项会 变成负数 负数乘以整数 你可以试一下 但我们无论哪种情况都趋近负无穷 当x趋近于无穷时 这里会趋近渐近线 希望你觉得这有意思