有理函数图 (旧例)

画外音：我们有三个函数图。 f 函数是紫红色。 g 函数是绿色。 还有 h 函数是断续紫色。 我们还有三个函数表达式， 这三个式子可能是对应于 这 f，g，h 函数图的代数式。 本视频里我想把它们做相应的配对， 找出哪个图对应于哪个代数式。 我建议你把视频暂停一下， 看自己能不能独立解出来， 然后再接着看视频。 对这个问题有几个思路。 一方面，可以想一下这些代数式 的函数图可能是什么样的，然后再查一下左边 这些图哪个比较象。 另一方面，我们可以从这些函数图 上找到纵向和横向渐近线， 再查这些代数式里哪个在相应的点可能 有纵向或横向的渐近线。 下面我要采用第二种方法。 先来看图。 我偏好用视觉方法， 或者说喜欢看图。 我从 f 函数图开始。 f 函数图上在 x 等于 -5 处看起来有一条纵向渐近线。 是在 x 等于 －5 处。 有一条纵向渐近线， 位于 x 等于 －5 处。 想一想这些式子里哪个 在 x 等于 －5 处会有纵向渐近线。 如果有纵向渐近线， 函数在那一点就没有意义。 这是我最先所考虑的。 当然就是函数在某一点没有意义， 我们还得确认是否真的在那里有纵向渐近线, 而非在该点有个洞， 不只是有一点不连续。 我们开始排查。 第一个式子在 x 等于 －5 处有意义。 如果式子的分母 成为 0，它就没有意义。 这个分母为 －5 减去 5， 等于 －10。 这个式子在那一点有意义，因此它不是 f 函数。 第二个式子在 x 等于 －5 处也有意义。 其分母不为 0，所以它不是 f 函数。 最后这个式子，当 x 等于 －5 时 其分母为 0。 因此单纯从推理的角度出发， 这个式子最有可能是自变量为 x 的 f 函数。 但是我们还应该核实 f 函数图的其它 性质也和这个表达式一致。 比如看一下 f 函数的横向渐近线。 看一下该图可以发现， 有一条横向渐近线。 特别是当 x 值变得越来越大时， 看样子其 f 函数趋近于 1。 以 x 为自变量的 f 函数趋近于 1。 这个式子是否有同样的性质？ 当 x 值变得越来越大， 趋向于无穷大时，分子部分的 －2 及 分母部分的 5 就可以忽略不计了。 当 x 值趋向于无穷大时， 因为非常大的 x ，式子趋向于 x 除以 x 。 我们看最高次项的系数， 可以判断当 x 变得非常 大时，式子将趋向于 1。 那时分子里面的 －2 及 分母里面的 +5 起的作用越来越小， 因为 x 变得太大了。 因此整个式子趋近于 1。 所以这一点和 f 函数图也一致。 还有其它方面可以核对吗？ 比如这个式子什么时候等于 0？ 当 x 等于 2 时其分子部分等于 0。 而我们看这里的 f 函数图确实也是这样。 因此我比较确定这就是 x 的 f 函数的表达式。 我们再看 x 为自变量的 g 函数。 这个题目里， x 为自变量的 h 函数和 g 函数都在 x 等于 5 的地方有纵向渐近线。 所以我们不能用纵向渐近线 来区分 g 函数和 h 函数。 我指的是 g 函数和 h 函数。 g 函数和 h 函数都于 x 等于 5 处有纵向渐近线。 而你可以从代数式里看出来。 当 x 等于 5 时，这两个式子都没有意义。 当 x 等于 5 时，这两个式子的分母都为 0。 因此我们来看横向渐近线能不能帮助我们做区分。 看起来 g 函数有一条横向渐近线 位于 y 等于 －2 处。 横向渐近线位于 y 等于 －2 处。 x 无论朝正数方向还是负数方向趋向非常大， 看起来 y 都要趋向 －2。 我们来看第一个代数式。 如果把分子部分展开， 式子变成 2x －12 除以 x － 5。 如果 x 值非常大，分子部分的 －12 及分母 部分的 －5 就可以忽略不计。 因此如果 x 值非常大，这个式子 可以约等于 2x 除以 x。 我来写清楚， “当 x 趋向于无穷大时”。 而 2x 除以 x 就等于 2， 所以当 x 趋向于无穷大时式子约等于 2 。 g 函数的横向渐近线不在 y = 2 处，而在 y = －2处。 h 函数的横向渐近线看起来在 y = 2 处。 横向渐近线在 y = 2 处。 所以上面这个式子象是 x 为自变量的 h 函数。 上面的式子象 x 为自变量的 h 函数。 我们可以加以核实。 x 为自变量的 h 函数什么时候等于 0？ 当 x 等于 6 时其分子等于 0， 而我们在图上核实了这一点。 这一点对于区分 g 和 h 没有作用， 因为 g 函数在 x 为 6 时也是 0， 我们主要依靠横向渐近线 来做判断。 当 x 值变得非常大时， 分子部分的 －12 及 分母部分的 －5 起的 作用越来越小。 我们要看最高次项。 式子趋向于 2x 除以 x，结果是 2。 这一性质在 h 函数图上可以得到证实。 现在看 g 函数，如果用排除法，就可以 说：“剩下这个式子很可能就是我们的 x 为自变量的 g 函数。” 怎样核实呢？ 如果 x 为自变量的 g 函数等于 12 － 2x 除以 x － 5。 当 x 趋向于无穷大时， 我们只看最高次项， 这个式子约等于 －2x 除以 x。 结果就会等于， 或者说趋近于 －2。 这确实是 g 函数的横向渐近线的位置。 当 x 变得非常大时，或当 x 变 成负数且绝对值很大时， 该函数都趋近于 －2。 负 2 乘以负的十亿再除以 负的十亿还是等于 －2。 所以我们能够断定这就是 x 为自变量的 g 函数。