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根据渐近线绘制有理函数

Sal分析函数 f(x)=(3x^2-18x-81)/(6x^2-54) 并且确定它的水平渐近线, 垂直渐近线和可去不连续点. Sal Khan 创建

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视频字幕

我们有一个函数f(x) = 3 x的平方 减去18x - 81, 除以6x的平方-54 这个视频里 我想要找到这个函数的 水平和垂直渐近线 我希望您能够暂停视频 然后试图自己尝试一下 在我向大家介绍之前 我现在假设您已经尝试过了 我们来一起思考一下这个函数 首先我们想想水平渐近线 看看是不是至少有一个 水平渐近线的意思是 函数f(x)会慢慢接近的一条线 当x的绝对值 接近无限大的时候 或者你可以说,函数f(x)的数值 在x接近无限大的时候 f(x)的数值 在x接近负无限大的时候 你可以有几种不同的方法来思考 让我重新写一下f(x)的定义 在这里 它是3x的平方-18x-81 它全部除以6x的平方-54 现在有两种您可以思考的方法 第一种方法,您可以说,好 在x的绝对值 变得越来越大的时候 分别在分子和分母里最高指数的项 会主导f(x)的值 最高指数是那两项呢? 在分子里,你有3x平方 然后在分母里,你有6x的平方 当x的绝对值 接近无限大的时候 这两项就会主导函数的值 所以f(x)约等于3x的平方 除以6x的平方 其他的项会变得没那么重要 因为-54永远是-54 然后-18x会比 3x的平方变化的速度更慢 所以最高指数的两项,能够决定f(x)的数值 如果我们只看这两项, 那你可以这样想象 f(x)越来越接近 3/6或者1/2 你可以说有一个水平渐近线 在y=1/2的时候 或者有第二种方法 如果你不喜欢这里说 最高指数项的说法的话 我们可以关注分子和分母 将分子和分母里 最高指数项的x相除 在分子里最高指数的x是x的平方 那么我们把分子除以分母 或者说最高指数的项 在分子和分母里都是x的平方 然后我们就把分子和分母 都除以x^2 也就是分子乘以1/x^2 分母也乘以1/x^2 注意我们没有变换 整个表达式的数值 我们只是乘以1 假设x不等于0 我们的分子里, 3x的平方除以x的平方等于3 减去18除以x,减去81除以x的平方 然后把它除以 6x的平方除以x的平方,等于6 然后减去54除以x的平方 这会发生什么呢? 如果您想要思考 当x接近无穷大 以后的极限的话 如果您想说当x接近无穷大 以后我们得到的极限 那么会发生什么呢? 这三项会接近0 所以您得到的极限是3/6或者1/2 那么,如果您假设x接近负无穷 那还是一样的原理 这个,这个,和它都接近0 然后您会得到接近1/2 这就是水平渐近线 y等于1/2 现在让我们来思考垂直渐近线 让我先把函数写下来 移动一下屏幕 垂直渐近线 有可能不止一个 所以,您现在似乎很想说 “在分母等于0的时候” “我们就会遇到垂直渐近线” “因为这个有理数会变得无定义“ 我们会在这个例子里看到 这并不完全正确 仅仅把分母设成0 并不会是一个垂直渐近线 它确实是一个点 在这个点上函数是未定义的 但是仅仅如此并不能构成垂直渐近线 让我们思考一下这里的分母 我们可以因式分解 让我先分解分子 然后分解分母 我们可以把f(x)写作 分子明显可以被三整除 所以先分解出3 然后就变成了3乘以x^2 减去6x,减去27 然后除以分母 每一项都可以被6整除 6乘以x^2,减9 我们接下来看能不能进一步 分解分子和分母 那就会是f(x)等于 两个数的积是-27 他们的和是-6 -9和3似乎可以用 我们会有(x-9)乘以(x+3) 除以分母 这是一个平方差 那就会是x-3乘以x+3 分母在什么时候等于0 当分母等于0的时候, x等于+3 或者说x等于-3 那么我希望您能够暂停视频 这两个都是垂直渐近线吗 您可能已经发现分子 在x=-3的时候也等于0 我们可以做的事情是把式子化简一下 然后就会更清楚 我们的垂直渐近线在哪里 我们可以说f(x) 等于分子和分母 都除以x+3 我们还需要注意 如果我们想要两个函数一样的话 我们需要保留这个函数,比如 在x=-3的时候是未定义的 因为公式出现了除以0 我们需要记住这一点 然后可以化简函数 除了上面这点,这个函数 就等于当我们把分子分母都除以 x+3的时候了 那就等于3x-9 除以6x-3 但是x不等于-3 注意,这个函数 和我们原本的函数是一样的 然后我只需要把这个条件放在这里, x不等于-3 因为我们原本的函数 在x=-3的时候是未定义的 x=-3不是原本函数 的定义域 如果我们把x+3从分子分母 中取出来的话 我们需要记住 我们只用这个的话 不是原本的函数 因为没有附加条件的话 这个新函数在x=-3的时候是被定义的 但是我们想要完全一样的函数 我们在这一点上 会有一个不连续点 我们现在可以思考垂直渐近线了 现在,垂直渐近线是一个点 会把分母变成0的一个点 但是同时分子不是0 x等于-3会把分子分母都变成0 我们的垂直渐近线 —让我换个颜色— 我们的垂直渐近线就会是 当x等于+3的时候 因为在这一点,分母等于0 但是分子不等于0,所以让我写下来 垂直渐近线在x等于3的时候 用这两点信息 或者我猜您也已经知道了 我们可以开始画图了 但是仅仅知道这点还是不够 我们还需要画几个不同的点 来看看在逐渐接近线的时候 会发生什么 当我们看到图的时候 不如我们在这里试一下 因为它能让我们知道函数究竟长什么样 函数会变成这个样子 注意这里的比例不准确 这个点是1,这个点是1/2 y等于1/2是水平渐近线 y=1/2 然后我们有一个垂直渐近线 在x=+3的时候 我们有1,2 —让我用蓝色— 1, 2, 3, 比例不准确 或者说x和y的比例不太准确 但是我们有一个这样的垂直渐近线了 光看这个的话我们还是不知道 函数的长相 它可以长得像这样 或者那样 也可以是这样 或者也可以这个样子 还可能长这样 希望您能够了解 我们想要知道函数具体是什么样 我们需要尝试几个点 我们需要知道的另一点是 函数在x=-3的时候 是未被定义的 让我把x变成-3 1, 2, 3, 所以函数 但是我还没有尝试每个点 它可以长得像这样 也可以是这样,在-3的时候 未被定义 然后可以继续这样走 或者像这个样子 又或者是这样 但是在-3的时候是违背定义的 然后这里将是一个渐近线 所以我们越来越接近 它可以长的是这样 或者是那样 但是,想要确定具体的样子 我们需要尝试几个点 我希望您在看完这个视频以后 自己尝试 然后试图搞清楚 这个图画究竟长什么样