主要内容
代数2
有理函数图: 垂直渐近线
Sal根据不连续点来区配 f(x)=g(x)/(x²-x-6) (其中 g(x) 为多项式)的图.
视频字幕
我们已知, f(x)=g(x)/(x²-x-6), g(x)为多项式。 下列哪一个有可能是 y=f(x)的图像? 这里提供了四个选项。 第四个选项在这。 像往常以往,请暂停视频, 看看你能否独立解题,或者 在我跟你一起解题的过程中, 如果你有任何想法了,可以随时暂停。 比起看着我解题, 自主思考来得更重要。 让我们开始解题吧。 这个挺有意思。 关于f(x),题目并没有给出很多信息。 事实上,我们不知道分子是多少。 我们只知道是一个多项式。 这也是有用的信息吧。 但题目告知了分母是多少, 所以我们可以想一下 这些有趣的数字, 分母中的x值可以是多少。 通常来说,什么样的x值可以使得 分母为零? 为了解题,我们可以将分母因式分解。 我们看一下,一次项的系数 实际上是-1。 我们可以在这写个-1。 常数项是-6。 如果我们想要做因式分解,我们可以这样, 哪两个数,它们的积 是-6,然后相加为-1呢? -3乘以2是-6。 然后-3加2等于-1。 所以我可以将f(x)重写一遍。 我可以写 f(x)=g(x)/(x-3)(x+2)。 f(x)=g(x)/(x-3)(x+2)。 所以当x=3或x=-2时, 分母为零。 这就是使得分母为零的情况。 所以分母为零。我就这么写吧。 如果有某个数使得分母为零。 这就意味着 在这个点上会有一条垂直渐近线, 或者有个 可去间断点。 什么情况会有 可去间断点呢 假设在x=3有可去间断点, 那么当x=3时,g(x) 可以被因式分解为x-3乘以 别的一些什么。 这样的话,x=3 就有一个可去间断点。 如果x=3并不能使得g(x)=0。 比如说,如果g(3)不等于0, 或者说g(-2)不等于0, 那这两个都会是垂直渐近线。 那让我们看一下这些选项。 A选项,有一条垂直渐近线。 垂直渐近线位于x=-2。 这么看,这条线,我来画一下。 这条垂直渐近线,在这, 就是这条线,x=-2。 至少到目前为止,它看上去是 符合要求的,那当x=3的时候呢? 这条线没问题。 在x=3图像是存在的。 x=3在这里 图像是有意义的。 但在这里,当x=3时, f(x)很显然是没有意义的, 分母为0, 除以0是没有意义的。 所以即使这里有一条垂直渐近线 位置也很特别,我们还是要把这个选项排除掉 因为这个图像显示x=3图像是有意义的, 但f(x)并不是这样的。 我们要么得在这看到一条垂直渐近线 要么得是一个可去间断点。 好吧,这里有一条垂直渐近线 在x=-2的位置, 然后有另一条垂直渐近线在x=4。 这个就完全说不通了。 这个,跟上一个一样, 在x=3时图像是存在的。 我们看到在x=3时,函数为0。 但这个函数,f(3)是不等于0的。 f(3)是没有意义的。因为是除以0。 所以这个选项我们也排除掉。 再说一遍,当x=3时,我们要看到的是 可去间断点或者一条竖直渐近线, 因为在x=3函数是没有意义的。 好吧,让我们来看C选项。 我们看到在x=-2时有一条垂直渐近线。 所以这个没问题。 然后在x=3时有一个可去间断点。 所以这个函数,这个图像 在x=3或x=-2时没有意义。 这是对的因为 f在这些点都没有意义, 因为在x等于这些值的时候,函数f的分母为0。 所以这个看着有点意思。 然后这个是契合题目的。 这个跟题目是契合的,f(x) 是这样的, 分母是,我们已经知道了。 (x-3)(x+2)。 然后分子是,可能是, 因为在x=3的位置不是垂直渐近线, 因为在x=3的位置不是垂直渐近线, 而是可去间断点,我们 就可以将g(x)因式分解为 x-3乘以其他式子。 所以这个跟这个图像是契合的。 我会选这个。 让我们来看一下,D选项。 D选项有两条垂直渐近线。 一条位于x=-1。 这是-2,所以,x=-1。 然后位于x=6。 两条都不符合 分母为0时的要求。 所以这个选项也要排除掉。 所以我们可以放心地选C了。