有理函数图: 零点

好，这道题是 f(x) 等于 2x 平方减 18 除以 g(x)， 其中 g(x) 是多项式。 然后题目问， 下面哪项可能是 f(x) 的图像？ 然后这里有四个选项。 老规矩，我鼓励你暂停视频， 自己试试能不能做出来。 看这个 f(x)， 想想这些图像中哪个 与 f(x) 相符合？ 好，我们一起来。 这道题中分式的分母，我们知道的不多， 但分子我们知道， 在前几课我们学到， 把分子因式分解是一个办法， 这样能看出哪些 x 值重要。 明确点说， 就是哪些 x 值能让分子为 0。 我们现在来因式分解， f(x) 等于， 我们首先可以提出一个 2， 变成 2 乘以 x 平方减 9， 分母还是 g(x) 不变。 我们不知道分母是啥， 只知道它是一个多项式。 我们看，分子有 x 平方减 9， 很容易看出来， 这是平方差公式， 继续分解。 这个 2 还在， 后面变成 x 加 3 乘以 x 减 3， 这个我们也很熟。 如果这个你不熟悉， 我建议你回去看 平方差公式或者因式分解的视频。 x 平方减 9，也就是 x 平方减 3 平方， 就等于 x 加 3 乘以 x 减 3。 然后分母还是 g(x) 不变。 首先我们就要问， 什么时候分子等于零？ 当 x 等于 3 或者 -3 时。 当 x 等于 -3 时， 这个表达式为 0， 当 x 等于 3 时， 这个表达式为 0。 你也许会说：“正负 3 是我们的零点。” 所以，f(-3) 应该等于 0， f(3) 也应该等于 0。 这两个 x 值确实 看起来能让分子为 0。 我们来看看选项， 从选项中我们看， A 中 3 确实是一个 0 点， 但 -3 处可不是， 在 -3 处是一个竖直渐进线。 这个……有点让人迷惑。 B 选项在 3 处也是一个 0 点， 但在 -3 处什么都没有， 一点特殊的地方都没有。 它在 -3 处有值， 连个竖直渐近线都不是。 又让人有些迷惑了…… C 在 3 处是一个可去间断点， 然后在 -2 处是一个竖直渐近线。 同样，在 x = -3 处没有任何特殊的地方。 还是迷惑…… 而这个选项， 在 -6 和 6 是零点。 这些选项，都没有 在 x 等于 3 和 -3 都是零点的。 怎么回事呢？ 好吧，我们现在应该要明白一件事， 有些值可以让分子为 0， 但不代表它能让整个函数也为 0。 你会问：“怎么会这样？” 提示：如果这些值 让分母也等于 0 了，会怎样呢？ 我来写几个 f(x) 可能的情况， 我们知道 g(x) 是多项式， 所以 f(x) 有可能是， 分子我们知道， 是 2 乘以 x 加 3，再乘以 x 减 3。 我们现在说 g(x) 等于， 这是我故意选的， g(x) 等于 x 加 1。 这样的话，令分子为 0 的 x 值， 不会让分母为 0。 这就是 f(x) 有 3 和 -3 两个零点的情况。 这就应该有两个零点。 两个零点。 我们来看另一个相似的情况。 比如假设 f(x) 等于， 分子还是有 x 加 3 乘以 x 减 3， 而分母呢，比如说 3 或 -3 这两个值中有一个 能让分母也等于 0。 比如，x 加 3， 再乘以 x 加 1。 那么现在看，分子分母同时都有 x 加 3， 你可以把上下的 x 加 3 都约去。 约掉了。 这时，x 等于 -3 就是一个可去间断点。 所以这种情况下， x 等于 3 是零点， 而 x 等于 -3 是可去间断点。 所以，令分子为零的点， 有可能是函数的零点，也有可能是可去间断点。 我在这里假设 -3 作为可去间断点， 当然有可能是另一个点，也有可能两个点都是。 如果这是 x 加 3 乘以 x 减 3， 除以 x 加 3 乘以 x 减 3， 那么 3 和 -3 两个点都是可去间断点。 我们再进一步， f(x) 有可能是这样， 它等于 2 乘以 x 加 3 再乘以 x 减 3， 除以 x 加 3 的平方， 然后再乘以另一个式子， 比如 x 加 1。 现在又会怎样呢？ 现在就算上下约去 x 加 3， 分母还会剩一个 x 加 3， 可以约一个 x + 3， 但还有一个 x 加 3 剩下。 在这种情况下，这就是个竖直渐近线。 因此，在这种情况下，x 等于 3 是一个零点， 而 x 等于 -3 是一个竖直渐近线。 我简写一下， 是一个竖直—— 太长了——竖直渐近线， 在 x 等于 -3 处。 上面的三个特殊例子， 表明了分式函数分子的零点， 并不一定是函数的零点。 它有可能是零点， 有可能是可去间断点， 也有可能是竖直渐近线。 但 x 等于 3 或者 -3， 至少是上面的一种。 明白了这些，我们再来看选项， A 选项，x 等于 3 是零点， x 等于 -3 是竖直渐近线。 这个完全符合我们刚才的结论。 选项 A 看起来就很顺眼了。 选项 B，x 等于 3 是零点， 但 x 等于 2 是它的竖直渐近线， x 等于 -3 却啥也没有， 这个选项排除。 然后看 C 选项， 在 x 等于 3 是可去间断点， 这个完全有可能， 刚才我们也看到了， 如果分子分母有相同的表达式可以约掉， 那么这个表达式的零点就是可去间断点。 但竖直渐近线不在 x 等于 -3 处， 它在 x 等于 -2 处。 排除。 它在 x 等于 -3 处也什么都没有。 这有两个零点， 但不是在 3 和 -3 处， 而是在 6 和 -6 处， 排除排除。 这感觉就很爽， 选项 A 越看越顺眼。