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主要内容
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视频字幕

好,这道题是 f(x) 等于 2x 平方减 18 除以 g(x), 其中 g(x) 是多项式。 然后题目问, 下面哪项可能是 f(x) 的图像? 然后这里有四个选项。 老规矩,我鼓励你暂停视频, 自己试试能不能做出来。 看这个 f(x), 想想这些图像中哪个 与 f(x) 相符合? 好,我们一起来。 这道题中分式的分母,我们知道的不多, 但分子我们知道, 在前几课我们学到, 把分子因式分解是一个办法, 这样能看出哪些 x 值重要。 明确点说, 就是哪些 x 值能让分子为 0。 我们现在来因式分解, f(x) 等于, 我们首先可以提出一个 2, 变成 2 乘以 x 平方减 9, 分母还是 g(x) 不变。 我们不知道分母是啥, 只知道它是一个多项式。 我们看,分子有 x 平方减 9, 很容易看出来, 这是平方差公式, 继续分解。 这个 2 还在, 后面变成 x 加 3 乘以 x 减 3, 这个我们也很熟。 如果这个你不熟悉, 我建议你回去看 平方差公式或者因式分解的视频。 x 平方减 9,也就是 x 平方减 3 平方, 就等于 x 加 3 乘以 x 减 3。 然后分母还是 g(x) 不变。 首先我们就要问, 什么时候分子等于零? 当 x 等于 3 或者 -3 时。 当 x 等于 -3 时, 这个表达式为 0, 当 x 等于 3 时, 这个表达式为 0。 你也许会说:“正负 3 是我们的零点。” 所以,f(-3) 应该等于 0, f(3) 也应该等于 0。 这两个 x 值确实 看起来能让分子为 0。 我们来看看选项, 从选项中我们看, A 中 3 确实是一个 0 点, 但 -3 处可不是, 在 -3 处是一个竖直渐进线。 这个……有点让人迷惑。 B 选项在 3 处也是一个 0 点, 但在 -3 处什么都没有, 一点特殊的地方都没有。 它在 -3 处有值, 连个竖直渐近线都不是。 又让人有些迷惑了…… C 在 3 处是一个可去间断点, 然后在 -2 处是一个竖直渐近线。 同样,在 x = -3 处没有任何特殊的地方。 还是迷惑…… 而这个选项, 在 -6 和 6 是零点。 这些选项,都没有 在 x 等于 3 和 -3 都是零点的。 怎么回事呢? 好吧,我们现在应该要明白一件事, 有些值可以让分子为 0, 但不代表它能让整个函数也为 0。 你会问:“怎么会这样?” 提示:如果这些值 让分母也等于 0 了,会怎样呢? 我来写几个 f(x) 可能的情况, 我们知道 g(x) 是多项式, 所以 f(x) 有可能是, 分子我们知道, 是 2 乘以 x 加 3,再乘以 x 减 3。 我们现在说 g(x) 等于, 这是我故意选的, g(x) 等于 x 加 1。 这样的话,令分子为 0 的 x 值, 不会让分母为 0。 这就是 f(x) 有 3 和 -3 两个零点的情况。 这就应该有两个零点。 两个零点。 我们来看另一个相似的情况。 比如假设 f(x) 等于, 分子还是有 x 加 3 乘以 x 减 3, 而分母呢,比如说 3 或 -3 这两个值中有一个 能让分母也等于 0。 比如,x 加 3, 再乘以 x 加 1。 那么现在看,分子分母同时都有 x 加 3, 你可以把上下的 x 加 3 都约去。 约掉了。 这时,x 等于 -3 就是一个可去间断点。 所以这种情况下, x 等于 3 是零点, 而 x 等于 -3 是可去间断点。 所以,令分子为零的点, 有可能是函数的零点,也有可能是可去间断点。 我在这里假设 -3 作为可去间断点, 当然有可能是另一个点,也有可能两个点都是。 如果这是 x 加 3 乘以 x 减 3, 除以 x 加 3 乘以 x 减 3, 那么 3 和 -3 两个点都是可去间断点。 我们再进一步, f(x) 有可能是这样, 它等于 2 乘以 x 加 3 再乘以 x 减 3, 除以 x 加 3 的平方, 然后再乘以另一个式子, 比如 x 加 1。 现在又会怎样呢? 现在就算上下约去 x 加 3, 分母还会剩一个 x 加 3, 可以约一个 x + 3, 但还有一个 x 加 3 剩下。 在这种情况下,这就是个竖直渐近线。 因此,在这种情况下,x 等于 3 是一个零点, 而 x 等于 -3 是一个竖直渐近线。 我简写一下, 是一个竖直—— 太长了——竖直渐近线, 在 x 等于 -3 处。 上面的三个特殊例子, 表明了分式函数分子的零点, 并不一定是函数的零点。 它有可能是零点, 有可能是可去间断点, 也有可能是竖直渐近线。 但 x 等于 3 或者 -3, 至少是上面的一种。 明白了这些,我们再来看选项, A 选项,x 等于 3 是零点, x 等于 -3 是竖直渐近线。 这个完全符合我们刚才的结论。 选项 A 看起来就很顺眼了。 选项 B,x 等于 3 是零点, 但 x 等于 2 是它的竖直渐近线, x 等于 -3 却啥也没有, 这个选项排除。 然后看 C 选项, 在 x 等于 3 是可去间断点, 这个完全有可能, 刚才我们也看到了, 如果分子分母有相同的表达式可以约掉, 那么这个表达式的零点就是可去间断点。 但竖直渐近线不在 x 等于 -3 处, 它在 x 等于 -2 处。 排除。 它在 x 等于 -3 处也什么都没有。 这有两个零点, 但不是在 3 和 -3 处, 而是在 6 和 -6 处, 排除排除。 这感觉就很爽, 选项 A 越看越顺眼。