主要内容
代数2
有理函数图1
Sal画出 f(x)=(2x+10)/(5x-15). 由 Sal Khan 创建
视频字幕
在这里我有f(x)函数的图 我想要知道我们是否仅仅通过一个有理式定义的函数本身 描绘出这张图 我们有2x+10除以5x-15,
所以其实 有一些不同的方法来做到这点,
我们需要找到一些数字 很简单的数字。
比如当x=0的时候会发生什么 我们可以说f(0)等于, 这里全是0,所以我们剩下10/(-15)
也就是 -2/3,所以我们可以画出
当x = 0的时候 y等于-2/3,
让我换一个颜色 所以我们可以画出来这样 我们还可以考虑当函数等于0的时候 唯一让函数等于0的时候是 当分子等于0的时候,所以
你可以尝试解开 2x+10 = 0,
所以2x = -10 因为两边减去了同样的值 我们还是到x = -5因为你可以看见 在这里当x等于-5的时候
函数经过了x轴 这只是两个点,不足以给我们足够的信息 你可以想想还有什么函数有这样的形状 我现在想要思考 函数在别的店的时候会怎么样 所以我要想这个函数在什么时候是未定义的。 所以我能想到的情况是 函数在分母等于0的时候 在分母等于0的时候 是未定义的 所以就是在5x = 15 = 0,两边加上15就是 5x = 15的时候,然后两边除以5 也就是当x = 3的时候,f 是未定义的。
有几种不同的方式 在一个函数未定义的时候。
你可以看到这样的图 所以让我画一些坐标轴所以我们可以说 这个是3,当你有这个函数的时候这里可能是
未定义的 可能会接近一个有定义的数值,只是在3的时候
没有被定义 然后就这样继续下去 也有可能有一个垂直渐近线 所以会长得像这样, 接近无穷大,然后在另一边
从无穷大下来 或者也有可能从负无穷大上来 所以就是一个水平垂直线
当我们从左边接近的时候 这个图标会无限接近这条水平线
但他从来不会达到这条水平线 我想我们可以说函数在x=3是未被定义的 所以当你从右过来的时候 函数就会无限接近 负无穷大,当x接近3的时候 当你看到这里的时候, 你可能会说,这个点是x = 10所以 我们想要找到x = 3 就是在这里,当你看到图片的时候 你可能能看出,这的确是一个垂直渐近线 只看图表的时候你就能看出
再x = 3的时候有一个 垂直渐近线,让我写下来 在 x = 3的时候,
但是你如果没有画图的话 要怎么知道呢? 我们知道x = 3是未被定义的但是我们要怎么知道 这只是一个点的不连续,还是一个垂直渐近线呢? 你可以尝试接近3的时候用不同的数值 然后看看会发生什么,你可以拿出你的计算器 然后算出当x = 3.01的时候会发生什么 所以分子是2*3.01 + 10
这个是分子 然后我需要用他除以
5*3.01 - 15 这是一个很大的数字 所以我们如果更接近的话 如果我们尝试 2x3.001+10 除以 5x3.001 所以我们现在就可以尝试当x = 3.001的时候, 我们会得到一个更大的数字 所以看起来x是在接近正无穷大 所以这是一种方法,我们至少知道 从这一边接近3,函数在接近无穷大 我们可以画像这样的东西, 你可能尝试了很多数值所以你可能说, 让我再把最后一行放过来 让我改把3.001改称2.999 然后还有这里,也改成2.999 然后我们可以发现这个数字非常的低 所以我们在接近负无穷大。当你多尝试几次以后,你可以知道你的图标 会长得像这里这样,并且 还可以连到这一条线。 我们看看当x非常大的时候 或者是负无穷大的时候会怎么样。 看起来有一个水平渐近线,我们可以直接看图 在这里我们知道x接近了非常大的数字 所以f(x)会竭尽一个数字 也就是函数的水平渐近线 当x是负数的时候,函数在
渐近线的下面。 我们怎么知道渐近线的数值呢? 我们可以说,当x接近无穷大的时候会怎么样呢
让我把它写下来 当 x 接近无穷大的时候
f(x) 会变成什么样呢 当x变得越来越大的时候,
10和-15就变得 没那么重要了,因为这里的这一项会变得更加的有用 所以我们可以说当x接近无穷大的时候, 函数会越来越接近2x/5x, 也就是越来越接近2/5. 如果你非常需要更仔细的思考他的话,我们可以想象 当x变得更大的时候,不同的函数数值。 如果x是1,那么f(x)就是
(2+10)/(5-15) 所以在这里,10和负15很重要 但是如果x是1000的话,f(x) =
(2000+10)/(5000-15) 在这里2000和5000是更主要的内容 所以如果x = 一百万的时候, 我就会有两百万 + 10,然后我们值改变了一点点,除以
五百万-15 所以也是给变了一点点 所以在这里,10和15几乎就没那么重要了,所以你可以想想 如果x是一百万,一千万,或者更大, 那么10和15就变得越来越不重要。 反而是前两项更重要 所以f(x)等于2x / 5x也就是2/5,所以f(x)接近2/5 这条线长得像2/5,就和0.4一样,所以f(x) 我们能够在图里看到这样 f接近0.4但是不等于0.4 这是因为 你永远都有+10和-15所以你永远不会 完全等于2/5. 在负数的部分是一样的 如果这些全是负数的话 -5, -1000, -2000, -5000 那么这里是-两百万除以-五百万 所以在这里我还是接近了2/5 或者说是-2/-5,也就还是2/5 你可以知道在这里我们可以说 在这里函数有一条水平渐近线 所以y = 2/5 我希望这能让我们了解水平和垂直线 如果我们没有这些图的话,我们也可以 通过我们对函数未定义处的了解 和尝试不同的x数值来发现 x会接近-3的时候 看起来我们会接近一些数字 所以我们可以知道这些最重要的点 然后计算f = 0的时候,f = 0的时候会发生什么 我们还可以想象当x等于正无穷和负无穷的时候 会发生什么, 然后描绘这条水平渐近线 这也可以帮助我们描绘这个函数的草图。