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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 6

课程 2: 有理表达式的乘除法
数学
代数2
有理函数的关系
有理表达式的乘除法
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有理方程的除法

Google课堂
学习如何找到两个有理表达式的商.

学习这节课之前你应该熟悉的概念

有理式就是两个多项式的比值。 有理式的定义域就是除了使分母为零的数值以外的所有实数。
我们可以通过很多种方式——分解因子，抵消公因数，以及相乘——来乘以有理式，就像我们乘以数值分数一样。
如果这些知识对你来说有点陌生，我们建议你先学习以下章节：

本课内容

在本课中，你将学到如何除以有理式。

分数相除

要除以两个数值分数，我们要让被除数（第一个分数）乘以除数（第二个分数）的倒数。例如：
我们也可以用这个方式来除以有理表达式。

例题1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

与往常一样，我们需要考虑限制值。当两个有理式相除时，以下情况发生时，商是未定义的。
总而言之，作为start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction的结果的表达式当 B, equals, 0， C, equals, 0，或D, equals, 0时是未定义的。
让我们检查一下这个问题中的被除数和除数以确认是否有任何域限制。
  • 被除数start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction可以取所有x值。
  • 除数start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction可以取所有x值，且在x, equals, 0时等于零。
因此，我们可以得出结论，商可以取任何x, does not equal, 0。这是我们的最终答案：
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction 当 x, does not equal, 0

看看你的知识掌握地如何

1) 做除法并简化。
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
for x, does not equal
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

例题2：start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

和往常一样，我们将使被除数乘以除数的倒数。然后，我们要分解因子，抵消公因数，然后相乘。最后，我们再来考虑限制值。
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3与倒数相乘=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3分解因式=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3消除公因式=x−5x+5相乘\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{与倒数相乘}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{分解因式}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{消除公因式}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{相乘}}} \end{aligned}
让我们检查一下这个问题中的被除数和除数以决定是否有任何域限制。使用这些表达式的分解形式是最简单的。
  • x, does not equal, minus, 5, comma, 2被被除数 start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction 所定义。
  • x, does not equal, 5被除数 start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction所定义，且当x, equals, minus, 3时等于零。
因此，我们可以得出结论，即x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5是被结果的商所定义的。
因此，我们必须标注x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3。我们不需要标注x, does not equal, minus, 5，因为这在表达式中也可以看出来。这是我们的最终答案：
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction 当 x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

看看你的知识掌握地如何

2) 做除法并简化。
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
作为结果的表达式的域有什么限制？
选择所有正确的答案:

3) 做除法并简化。
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
作为结果的表达式的域有什么限制？
选择所有正确的答案:

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