有理表达式简介 (文章) | 简化有理表达式

本课内容

本课介绍的内容是有理式。您将学习一个有理式在什么情况下无意义，以及如何找到让有理式有意义的域。

有理式是什么?

多项式是由一到多个含有

x

的整数次幂的项相加而成的代数表达式, 比如

3 x^{2} - 6 x - 1

有理式是由两个多项式组成的分式。也就是说，有理式是一个分数，其分子和分母的值都是多项式。

举例来说，下面这些式子都是有理式：

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

我们注意到，分子可以是常数，多项式的次数和形式可以各种各样。

有理式何时无意义？

我们来看这个有理式：

\frac{2 x + 3}{x - 2}

。

我们可以将特定的

x

的值代入，得到有理式的值。比如在

x = 1

时，有理式的值为：

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

我们可以看到，当

x = 1

，有理式的值为

- 5

。

现在我们来计算这个有理式在

x = 2

时的值。

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = 无意义! \end{aligned}$ ‍

x

为

2

时，分母的值会变成

0

。除数为

0

是没有意义的，所以这个有理式在

x = 2

时是无意义的！

有理式的域

有理式的域是所有令这个有理式有意义的

x

的值的集合。

对于有理式来说，只要分母不为

0

就可以（因为除数为

0

是无意义的)。

换句话说，有理数的域包括所有令分母不为零的实数。

例题: 求有理式的域： $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

找到所有令分母为零的值：

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 or x + 4 = 0 & 乘数为零的特性 \\ x = 3 or x = - 4 & 求 x 的值 \end{aligned}$ ‍

所以这个有理式的域是除了 $3$ ‍和 $-4$ ‍的所有实数，简写为

x \neq 3, - 4

。

练习

1) 有理式 $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍的域是什么?

[我需要帮助！]

2) 有理式 $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍的域是什么?

[我需要帮助！]

3) 有理式 $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍的域是什么?

[我需要帮助！]

挑战题

4*) 有理数 $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍的域是什么？

[我需要帮助！]

5*) 有理式 $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍的域是什么?

[我需要帮助！]

代数2

课程: 代数2 > 单元 6

有理表达式简介

本课内容

有理式是什么?

有理式何时无意义？

有理式的域

例题: 求有理式的域： $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

练习

挑战题

想加入讨论吗？

代数2

课程: 代数2 > 单元 6

本课内容

有理式是什么?

有理式何时无意义？

有理式的域

例题: 求有理式的域：x+1(x−3)(x+4)‍

练习

挑战题

想加入讨论吗？

例题: 求有理式的域： $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍