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主要内容

代数2

Course: 代数2 > 单位 6

课程 1: 简化有理表达式
数学
代数2
有理函数的关系
简化有理表达式
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有理表达式简介

Google课堂
了解什么是有理表达式以及它们未定义的值.

本课内容

本课介绍的内容是有理式。您将学习一个有理式在什么情况下无意义，以及如何找到让有理式有意义的域。

有理式是什么?

多项式是由一到多个含有x的整数次幂的项相加而成的代数表达式, 比如 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.
有理式是由两个多项式组成的分式。也就是说，有理式是一个分数，其分子和分母的值都是多项式。
举例来说，下面这些式子都是有理式：
start fraction, 1, divided by, x, end fraction, start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
我们注意到，分子可以是常数，多项式的次数和形式可以各种各样。

有理式何时无意义？

我们来看这个有理式： start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction。
我们可以将特定的x的值代入，得到有理式的值。比如在start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd时，有理式的值为：
2(1)+31−2=  5−1=−5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
我们可以看到，当start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd，有理式的值为start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10。
现在我们来计算这个有理式在start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd时的值。
2(2)+32−2=70=无意义!\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{无意义!}} \\ \end{aligned}
x为2时，分母的值会变成0。除数为0是没有意义的，所以这个有理式在start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd时是无意义的！

有理式的域

有理式的域是所有令这个有理式有意义的x的值的集合。
对于有理式来说，只要分母不为0就可以（因为除数为0是无意义的)。
换句话说，有理数的域包括所有令分母不为零的实数。

例题: 求有理式的域：start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

找到所有令分母为零的值：
(x−3)(x+4)=0x−3=0orx+4=0乘数为零的特性x=3orx=−4求x的值\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{or} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{乘数为零的特性}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{or} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{求$x$的值}}}\end{aligned}
所以这个有理式的域是除了start text, 3, end text和start text, negative, 4, end text的所有实数，简写为x, does not equal, 3, comma, minus, 4。

练习

1) 有理式start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction的域是什么?
选出正确答案：

2) 有理式start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction的域是什么?
选出正确答案：

3) 有理式start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction的域是什么?
选出正确答案：

挑战题

4*) 有理数start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction的域是什么？
选出正确答案：

5*) 有理式start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction的域是什么?
选出正确答案：

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