主要内容
简化有理表达式介绍
了解简化有理表达式的含义, 以及它的方式.
本课内容
在本文中,我们将通过例题学习如何简化有理式。
介绍
分子和分母没有公因式的有理式称为最简分式。
简化有理式的方法与简化分数的方法是一样的。
比如,start fraction, 6, divided by, 8, end fraction的最简形式是start fraction, 3, divided by, 4, end fraction。注意我们对分子和分母的公约数2进行了约分:
例题一: 简化有理式start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction
第一步:对分子和分母进行因式分解
只有对分子和分母进行因式分解,才能看出它们是否具有公因式!
第二步:列出令有理式无意义的值
在这一步,我们要列出所有令有理式无意义的x的值。这些限制对简化之后的有理式也成立。
除数为零是无意义的,因此我们得到start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd,以及 start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
第三步: 约分
现在,我们注意到分子和分母有一个公因式x。可以把它消掉。
第四步:得到答案
现在我们回想一下,原表达式在x, does not equal, 0, comma, minus, 5时才有意义。简化后的表达式对x的值有同样的限制。
因此我们必须标注x, does not equal, 0. x, does not equal, minus, 5可以不写, 因为这个限制在简化的表达式中也可以看出来。
所以,这个有理式的简化形式如下:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction ,其中x, does not equal, 0
关于等价表达式的说明
原表达式 | 简化表达式 | |
---|---|---|
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction | start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction,其中x, does not equal, 0 |
这两个表达式是相等的。这意味着对于x的所有值,两者的值都相等。下面的图表展示了x, equals, 2时的情况。
原表达式 | 简化表达式 | ||
---|---|---|---|
代入 start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff | |||
说明 | 由消除公因子start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff得到。 | 此结果本身就是最简形式,因为公因式xleft parenthesis这里start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis在之前简化的过程中已经消掉了. |
因为这个原因,这两个表达式的值在任何情况下都相等。不过,让原表达式无意义的值往往不符合这个特征。比如在本例中start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff的时候。
原表达式 | 简化后的表达式(去掉限制) | ||
---|---|---|---|
代入start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff |
因为两个表达式必须在所有情况下都相等,我们必须对简化的表达式加上x, does not equal, 0这个前提。
容易混淆的地方
请注意,在下面的例子里不能对x约分。那是多项式的项,不是因式!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
只要把x换成一个具体的值,就很容易明白这一点。比如假设start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff。
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
分子和分母要先写成因式的乘积形式,然后才可以约分,这是规则。
有理式简化步骤的总结
- 第一步: 对分子和分母进行因式分解。
- 第二步: 列出令有理式无意义的值。
- 第三步: 消去公因式。
- 第四步: 简化有理式,列出所有令原有理式无意义,但无法由其简化形式推断出来的值。
看看你的知识掌握地如何
例题二: 简化有理式 start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction
第一步:对分子和分母进行因式分解
第二步:列出令有理式无意义的值
因为除数为0是无意义的,我们得到start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd,以及start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
第三步: 约分
分子和分母有一个公因式start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995,可以进行约分。
第四步:得到答案
我们最终得到的最简式如下:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction,其中x, does not equal, minus, 3
原表达式要求x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3。我们不需要把 x, does not equal, minus, 2写下来, 因为简化后的表达式也有同样的限制。
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