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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 6

课程 1: 简化有理表达式
数学
代数2
有理函数的关系
简化有理表达式
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简化有理表达式介绍

Google课堂
了解简化有理表达式的含义, 以及它的方式.

学习这节课之前你应该熟悉的概念

有理式是两个多项式的比。有理式的域是所有令分母不为零的实数值。
比如，有理式start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction的域是除了start text, negative, 1, end text的所有实数，简写为x, does not equal, minus, 1。
如果您对此还不熟悉，请先阅读有理式入门。
本章内容还需要您了解如何进行因式分解。

本课内容

在本文中，我们将通过例题学习如何简化有理式。

介绍

分子和分母没有公因式的有理式称为最简分式。
简化有理式的方法与简化分数的方法是一样的。
比如，start fraction, 6, divided by, 8, end fraction的最简形式是start fraction, 3, divided by, 4, end fraction。注意我们对分子和分母的公约数2进行了约分：
68=2⋅32⋅4分解=2⋅32⋅4约分=34简化\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{分解}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{约分}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{简化}}} \end{aligned}

例题一: 简化有理式start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

第一步：对分子和分母进行因式分解
只有对分子和分母进行因式分解，才能看出它们是否具有公因式！
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
第二步：列出令有理式无意义的值
在这一步，我们要列出所有令有理式无意义的x的值。这些限制对简化之后的有理式也成立。
除数为零是无意义的，因此我们得到start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd，以及 start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
第三步: 约分
现在，我们注意到分子和分母有一个公因式x。可以把它消掉。
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
第四步：得到答案
现在我们回想一下，原表达式在x, does not equal, 0, comma, minus, 5时才有意义。简化后的表达式对x的值有同样的限制。
因此我们必须标注x, does not equal, 0. x, does not equal, minus, 5可以不写, 因为这个限制在简化的表达式中也可以看出来。
所以，这个有理式的简化形式如下:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction ，其中x, does not equal, 0

关于等价表达式的说明

原表达式\quad简化表达式
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction，其中x, does not equal, 0
这两个表达式是相等的。这意味着对于x的所有值，两者的值都相等。下面的图表展示了x, equals, 2时的情况。
原表达式\quad简化表达式
代入 start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
说明由消除公因子start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff得到。此结果本身就是最简形式，因为公因式xleft parenthesis这里start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis在之前简化的过程中已经消掉了.
因为这个原因，这两个表达式的值在任何情况下都相等。不过，让原表达式无意义的值往往不符合这个特征。比如在本例中start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff的时候。
原表达式\quad简化后的表达式(去掉限制)
代入start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=无意义\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{无意义}\end{aligned}0+30+5=35undefined\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{undefined}}\end{aligned}
因为两个表达式必须在所有情况下都相等，我们必须对简化的表达式加上x, does not equal, 0这个前提。

容易混淆的地方

请注意，在下面的例子里不能对x约分。那是多项式的项，不是因式！
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
只要把x换成一个具体的值，就很容易明白这一点。比如假设start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff。
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
分子和分母要先写成因式的乘积形式，然后才可以约分，这是规则。

有理式简化步骤的总结

  • 第一步: 对分子和分母进行因式分解。
  • 第二步: 列出令有理式无意义的值。
  • 第三步: 消去公因式。
  • 第四步: 简化有理式，列出所有令原有理式无意义，但无法由其简化形式推断出来的值。

看看你的知识掌握地如何

1) 简化有理式 start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction。
选出正确答案：

2) 简化有理式 start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
，其中 x, does not equal
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

例题二: 简化有理式 start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

第一步：对分子和分母进行因式分解
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
第二步：列出令有理式无意义的值
因为除数为0是无意义的，我们得到start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd，以及start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
第三步: 约分
分子和分母有一个公因式start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995，可以进行约分。
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
第四步：得到答案
我们最终得到的最简式如下:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction，其中x, does not equal, minus, 3
原表达式要求x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3。我们不需要把 x, does not equal, minus, 2写下来, 因为简化后的表达式也有同样的限制。

检查一下你对本课的理解

3) 简化有理式start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
选出正确答案：

4) 简化有理式start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction。
，其中 x, does not equal
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

下一步是什么？

您可以继续学习 简化有理式进阶课程，在那里可以看到难度更大的例题。

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