主要内容

简化有理表达式介绍

了解简化有理表达式的含义, 以及它的方式.

学习这节课之前你应该熟悉的概念

有理式是两个多项式的比。有理式的域是所有令分母不为零的实数值。

比如，有理式

\frac{x + 2}{x + 1}

的域是除了 $-1$ ‍的所有实数，简写为

x \neq - 1

。

如果您对此还不熟悉，请先阅读有理式入门。

本章内容还需要您了解如何进行因式分解。

本课内容

在本文中，我们将通过例题学习如何简化有理式。

介绍

分子和分母没有公因式的有理式称为最简分式。

简化有理式的方法与简化分数的方法是一样的。

比如，

\frac{6}{8}

的最简形式是

\frac{3}{4}

。注意我们对分子和分母的公约数

2

进行了约分：

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & 分解 \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & 约分 \\ = \frac{3}{4} & 简化 \end{aligned}$ ‍

例题一: 简化有理式 $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

第一步：对分子和分母进行因式分解

只有对分子和分母进行因式分解，才能看出它们是否具有公因式！

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

在这一步，我们要列出所有令有理式无意义的 $x$ ‍的值。这些限制对简化之后的有理式也成立。

除数为零是无意义的，因此我们得到 $x \neq 0$ ‍，以及 $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

第三步: 约分

现在，我们注意到分子和分母有一个公因式 $x$ ‍。可以把它消掉。

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

现在我们回想一下，原表达式在 $x \neq 0, - 5$ ‍时才有意义。简化后的表达式对 $x$ ‍的值有同样的限制。

因此我们必须标注 $x \neq 0$ ‍. $x \neq - 5$ ‍可以不写, 因为这个限制在简化的表达式中也可以看出来。
原表达式：
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍
简化表达式：
$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍
请注意， $x = - 5$ ‍会让两个表达式的分母都变成 $0$ ‍，所以不是一个合法的值。不过，从两个表达式都可以推出这个前提条件。
与此不同的是，如果我们不在简化后的表达式中特别标注 $x \neq 0$ ‍的话， $x = 0$ ‍就会变成一个合法的值，因为 $\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}$ ‍。
因为以上表达式在 $x = 0$ ‍时是无意义的（请参见原表达式），我们必须对有理式的域加上这个前提条件。

所以，这个有理式的简化形式如下:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ ，其中 $x \neq 0$ ‍

关于等价表达式的说明

原表达式	‍	简化表达式
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍，其中 $x \neq 0$ ‍

这两个表达式是相等的。这意味着对于

x

的所有值，两者的值都相等。下面的图表展示了

x = 2

时的情况。

	原表达式	‍	简化表达式
代入 $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
说明	由消除公因子 $2$ ‍得到。		此结果本身就是最简形式，因为公因式 $x$ ‍ $($ ‍这里 $x = 2)$ ‍在之前简化的过程中已经消掉了.

因为这个原因，这两个表达式的值在任何情况下都相等。不过，让原表达式无意义的值往往不符合这个特征。比如在本例中

x = 0

的时候。

	原表达式	‍	简化后的表达式(去掉限制)
代入 $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = 无意义 \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

因为两个表达式必须在所有情况下都相等，我们必须对简化的表达式加上

x \neq 0

这个前提。

容易混淆的地方

请注意，在下面的例子里不能对

x

约分。那是多项式的项，不是因式！

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

只要把

x

换成一个具体的值，就很容易明白这一点。比如假设

x = 2

。

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

分子和分母要先写成因式的乘积形式，然后才可以约分，这是规则。

有理式简化步骤的总结

第一步: 对分子和分母进行因式分解。
第二步: 列出令有理式无意义的值。
第三步: 消去公因式。
第四步: 简化有理式，列出所有令原有理式无意义，但无法由其简化形式推断出来的值。

看看你的知识掌握地如何

1) 简化有理式 $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍。

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{6 x + 20}{2 x + 10} = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

这里我们看到 $x \neq - 5$ ‍.

$\frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)}$ ‍

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} & = \frac{2 (3 x + 10)}{2 (x + 5)} \\ = \frac{3 x + 10}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{3 x + 10}{x + 5}$ ‍

原有理式要求 $x \neq - 5$ ‍。简化后的有理式也要求 $x \neq - 5$ ‍。因此我们不需要加上额外的限制。

2) 简化有理式 $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

，其中

x \neq

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

这里我们看到， $x \neq 0$ ‍，而且 $x \neq \frac{5}{4}$ ‍.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)}$ ‍

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{x^{2} (x - 3)}{x (4 x - 5)} & = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x \cdot x (x - 3)}{x (4 x - 5)} \\ = \frac{x (x - 3)}{4 x - 5} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{x (x - 3)}{4 x - 5}$ ‍，其中 $x \neq 0$ ‍

原有理式要求 $x \neq 0, \frac{5}{4}$ ‍. 我们不需要标注 $x \neq \frac{5}{4}$ ‍, 因为从简化后的有理式也能推出这个限制。

例题二: 简化有理式 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

分子可以用两个平方数的差规则进行因式分解：

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ‍

于是我们得到：

$\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

分母可以用相加-相乘规则进行因式分解。

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ‍

在对

x^{2} + 5 x + 6

进行因式分解的时候，我们需要找到

6

的两个因子，其和为

5

。因为

2 \cdot 3 = 6

，

2 + 3 = 5

，这个多项式可以分解为

(x + 2) (x + 3)

。

第二步：列出令有理式无意义的值

因为除数为 $0$ ‍是无意义的，我们得到 $x \neq - 2$ ‍，以及 $x \neq - 3$ ‍.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

第三步: 约分

分子和分母有一个公因式 $x + 3$ ‍，可以进行约分。

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍，其中 $x \neq - 3$ ‍

原表达式要求 $x \neq - 2, - 3$ ‍。我们不需要把 $x \neq - 2$ ‍写下来, 因为简化后的表达式也有同样的限制。

检查一下你对本课的理解

3) 简化有理式 $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

这里我们看到 $x \neq - 1$ ‍，以及 $x \neq 1$ ‍.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ‍

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} & = \frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{x - 2}{x + 1} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{x - 2}{x + 1}$ ‍，其中 $x \neq 1$ ‍

原表达式要求 $x \neq \pm 1$ ‍。我们不需要把 $x \neq - 1$ ‍写下来，因为简化后的表达式也有同样的限制。

4) 简化有理式 $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍。

，其中

x \neq

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6} = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

这里我们看到 $x \neq - 3$ ‍，以及 $x \neq 2$ ‍.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)}$ ‍

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} & = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{x - 5}{x - 2} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{x - 5}{x - 2}$ ‍，其中 $x \neq - 3$ ‍

原表达式要求 $x \neq - 3, 2$ ‍。我们不需要把 $x \neq 2$ ‍写下来，因为简化后的表达式也有同样的限制。

下一步是什么？

您可以继续学习简化有理式进阶课程，在那里可以看到难度更大的例题。

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代数2

课程: 代数2 > 单元 6

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

介绍

例题一: 简化有理式x2+3xx2+5x‍

关于等价表达式的说明

容易混淆的地方

有理式简化步骤的总结

看看你的知识掌握地如何

例题二: 简化有理式 x2−9x2+5x+6‍

检查一下你对本课的理解

下一步是什么？

想加入讨论吗？

例题一: 简化有理式 $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

例题二: 简化有理式 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍