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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 6

课程 1: 简化有理表达式
数学
代数2
有理函数的关系
简化有理表达式
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简化有理表达式 (高级)

Google课堂
你学会了有理表达式的简化吗? 很好! 现在, 深入了解一些高级示例.

在学习本课之前你需要熟悉的概念

有理式就是两个多项式的比值。如果一个有理式的分子和分母没有公因子，那么这个有理式就被化简到了最简形式。
如果这些概念对你来说有些陌生， 我们建议您先查看我们的简化有理式的介绍.

本课内容

本课中， 我们将练习简化更复杂的有理式。让我们先看两个例子， 然后你可以自己尝试解决一些问题。

例题 1: 简化 space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

第一步：对分子和分母进行因式分解
这里我们要注意， 虽然分子是一个单项式，我们一样可以提取它的因子.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
第二步：列出令有理式无意义的值
根据分解以后的有理式, 我们可以看出 x, does not equal, 0 和 x, does not equal, 9.
第三步: 约分
2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
第四步：得到答案
我们最终得到的最简式如下:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction 并且 x, does not equal, 0

要点

在这个例子中， 我们学习到：有的时候即使是单项式也有必要进行分解来简化有理式。

看看你对知识掌握得如何

1) 简化 start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
选出正确答案：

例题 2: 简化space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

第一步：对分子和分母进行因式分解
分子和分母看起来没有公因子，但是x, minus, 3 和 3, minus, x 是相关的。我们可以从分子中提取minus, 1 ，这样就可以得到公因子x, minus, 3。
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)交换律\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{交换律}}} \end{aligned}
第二步：列出令有理式无意义的值
根据分解以后的有理式, 我们可以看出x, does not equal, 3 和 x, does not equal, minus, 1.
第三步: 约分
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
最后一步，分子乘以minus, 1不是必须的， 但大家通常都会这样做。
第四步：得到答案
我们最终得到的最简式如下:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction 并且 x, does not equal, 3

要点

因式 x, minus, 3 和 3, minus, x 互为相反 ，因为 minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.。
在这个例子中，我们看到公因子被约掉， 但是添加了一个因子minus, 1 。也就是说x, minus, 3 和 3, minus, x 被化简为 start text, negative, 1, end text.
一般来说，当a, does not equal, b 时， 互为相反的两个因式 a, minus, b 和 b, minus, a 可以被化简为minus, 1 。

看看你的知识掌握地如何

2) 化简 start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
选出正确答案：

3) 化简 start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
并且 x, does not equal
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

让我们再多做一些练习。

4) 简化 start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
选出正确答案：

5) 化简 start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
并且 x, does not equal
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

6) 化简 start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction.
选出正确答案：

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