简化有理表达式: 高阶幂次

我们来看如何化简这个式子。 暂停视频，自己先试试， 好，我们现在一起来做。 一看到这个式子， 就觉得分子和分母 都可以因式分解， 也许它们有相同的因式， 然后就可以分子分母同时除以相同因式， 这就化简了。 我们先来分解分子部分。 x 的 4 次方，加 8x 平方，加 7， 一眼看上去挺吓人， 这是个 4 次方！ 这不是二次表达式， 最高次数是 4 次， 二次多项式我们见了很多， 这个式子好像也有类似的模式。 比如，如果是 x 平方 加 8x 加 7， 你会说，诶，这个我会， 直接可以分解。 哪两个数和是 8， 而乘起来等于 7？ 只有两个数能满足乘起来是正 7， 而它俩都是正的， 它俩必须是正的，因为它们加起来要等于正 8， 这两个数只能是 1 和 7。 这就等于 x 加 7 乘以 x 加 1。 然后，如果你这么想， 这里是 x 和 x 平方， 你把它们想成是 x 平方和 x 四次方， 这就完全是一回事了。 所以这个部分可以写成 x 平方加 7 乘以 x 平方加 1。 或者你也可以做一次代换， 设 a 等于 x 平方， 这样的话，a 等于 x 平方， 所以这部分就变成了 a 平方加 8a 加 7， 直接能因式分解成 a 加 7 和 a 加 1， 然后再带换回来， 就等于 x 平方加 7 和 x 平方加 1。 希望你搞明白了， 这是高次项， 而这一项的次数是它的一半， 这就符合这个模式， 你就可以通过代换， 或者不需要代换， 把对付 x 平方的方法， 用到 x 四次方上。 好，这是分子。 我们现在 来看看分母。 分母上，这两项都可以除以 3x， 我们把 3x 提出来， 这等于 3x 乘以， 3x 乘以， 如果这一项提出去一个 3x， 3 除以 3 等于 1， x 的 5 次方除以 x 等于 x 的四次方， 而这里你提出去一个 3x， 这就剩下 1。 目前为止，看不出有什么用。 我在分子上没看到 x 四次方减 1， 也没看到 3x， 但好像还能继续分解， x 的四次方减 1。 这是个平方差， 你也许会说，等一下， 要用平方差公式的时候， 一般会有 a 平方减 1 这样的模式， 它就能分解成 a 加 1 乘以 a 减 1。 这里也可以是 a 平方减 1 啊， 只要你把 x 平方看作 a。 这就变成 a 平方减 1。 我们重新写一遍， 我们来写， 这个整体等于 分子还是相同， 我用绿色， 分子相同： x 平方加 7，没法再分解了， 乘以 x 平方加 1，也不能分解了， 分母是 3x， 而这里可以看做平方差， 也就是 x 平方的平方， 然后这是 1 的平方， 它就等于 x 平方加 1， 乘以 x 平方减 1， 很明显，分子有一个 x 平方 分子有一个 x 平方减 1， x 平方，抱歉，是 x 平方加 1， 分母也有 x 平方加 1， 上下约去， 然后，分子剩下什么？ 剩下 x 平方加 7， 分母是 3x， 乘以 x 平方减 1。 现在式子很简洁了， 这里我们需要注意， 因为这个上下约分， 我们不想—— 我们想 约束 x 的取值范围，使得 这个表达式有定义， 这样才能说这两者相等。 所以，这个式子，很显然 分母中有 x， 因此 x 不能为 0。 x 也不能等于正负 1， 正负 1 会使这个表达式为 0， 而它不能为零， x 不能等于，这么写，正负 1， 不然这部分就为 0 了。 而这里，这一部分， 除非，我们假设取值范围还是在实数范围内， 这部分不可能等于 0， 如果仅考虑实数的话。 因为 x 平方肯定非负， 再加 1，一定是正数， 所以这一部分，这个因式， 不可能让整个式子没定义的。 所以可以直接约去它， 直接约去，不用考虑别的。 因此这个式子与最开始的式子， 是代数等价的。 我们可以把这些约束条件写上， 如果有人问我， x 取何值时，这个表达式无定义？ 很显然，x 为零时， 这个分母整个就是 0， 而除以 0 是无定义的， 或者，x 等于正负 1 时， 同样会使分母为 0。 但这个是从原始表达式 直接推导出来的， 它俩是代数等价的。 你也可以把分母乘开， 这没有影响。 它等于， x 平方加 7， 除以 3x 乘以 x 平方，就是 3x 立方， 减 3x。 这些式子全都代数等价。 搞定。