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主要内容
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简化有理表达式: 高阶幂次

视频字幕

我们来看如何化简这个式子。 暂停视频,自己先试试, 好,我们现在一起来做。 一看到这个式子, 就觉得分子和分母 都可以因式分解, 也许它们有相同的因式, 然后就可以分子分母同时除以相同因式, 这就化简了。 我们先来分解分子部分。 x 的 4 次方,加 8x 平方,加 7, 一眼看上去挺吓人, 这是个 4 次方! 这不是二次表达式, 最高次数是 4 次, 二次多项式我们见了很多, 这个式子好像也有类似的模式。 比如,如果是 x 平方 加 8x 加 7, 你会说,诶,这个我会, 直接可以分解。 哪两个数和是 8, 而乘起来等于 7? 只有两个数能满足乘起来是正 7, 而它俩都是正的, 它俩必须是正的,因为它们加起来要等于正 8, 这两个数只能是 1 和 7。 这就等于 x 加 7 乘以 x 加 1。 然后,如果你这么想, 这里是 x 和 x 平方, 你把它们想成是 x 平方和 x 四次方, 这就完全是一回事了。 所以这个部分可以写成 x 平方加 7 乘以 x 平方加 1。 或者你也可以做一次代换, 设 a 等于 x 平方, 这样的话,a 等于 x 平方, 所以这部分就变成了 a 平方加 8a 加 7, 直接能因式分解成 a 加 7 和 a 加 1, 然后再带换回来, 就等于 x 平方加 7 和 x 平方加 1。 希望你搞明白了, 这是高次项, 而这一项的次数是它的一半, 这就符合这个模式, 你就可以通过代换, 或者不需要代换, 把对付 x 平方的方法, 用到 x 四次方上。 好,这是分子。 我们现在 来看看分母。 分母上,这两项都可以除以 3x, 我们把 3x 提出来, 这等于 3x 乘以, 3x 乘以, 如果这一项提出去一个 3x, 3 除以 3 等于 1, x 的 5 次方除以 x 等于 x 的四次方, 而这里你提出去一个 3x, 这就剩下 1。 目前为止,看不出有什么用。 我在分子上没看到 x 四次方减 1, 也没看到 3x, 但好像还能继续分解, x 的四次方减 1。 这是个平方差, 你也许会说,等一下, 要用平方差公式的时候, 一般会有 a 平方减 1 这样的模式, 它就能分解成 a 加 1 乘以 a 减 1。 这里也可以是 a 平方减 1 啊, 只要你把 x 平方看作 a。 这就变成 a 平方减 1。 我们重新写一遍, 我们来写, 这个整体等于 分子还是相同, 我用绿色, 分子相同: x 平方加 7,没法再分解了, 乘以 x 平方加 1,也不能分解了, 分母是 3x, 而这里可以看做平方差, 也就是 x 平方的平方, 然后这是 1 的平方, 它就等于 x 平方加 1, 乘以 x 平方减 1, 很明显,分子有一个 x 平方 分子有一个 x 平方减 1, x 平方,抱歉,是 x 平方加 1, 分母也有 x 平方加 1, 上下约去, 然后,分子剩下什么? 剩下 x 平方加 7, 分母是 3x, 乘以 x 平方减 1。 现在式子很简洁了, 这里我们需要注意, 因为这个上下约分, 我们不想—— 我们想 约束 x 的取值范围,使得 这个表达式有定义, 这样才能说这两者相等。 所以,这个式子,很显然 分母中有 x, 因此 x 不能为 0。 x 也不能等于正负 1, 正负 1 会使这个表达式为 0, 而它不能为零, x 不能等于,这么写,正负 1, 不然这部分就为 0 了。 而这里,这一部分, 除非,我们假设取值范围还是在实数范围内, 这部分不可能等于 0, 如果仅考虑实数的话。 因为 x 平方肯定非负, 再加 1,一定是正数, 所以这一部分,这个因式, 不可能让整个式子没定义的。 所以可以直接约去它, 直接约去,不用考虑别的。 因此这个式子与最开始的式子, 是代数等价的。 我们可以把这些约束条件写上, 如果有人问我, x 取何值时,这个表达式无定义? 很显然,x 为零时, 这个分母整个就是 0, 而除以 0 是无定义的, 或者,x 等于正负 1 时, 同样会使分母为 0。 但这个是从原始表达式 直接推导出来的, 它俩是代数等价的。 你也可以把分母乘开, 这没有影响。 它等于, x 平方加 7, 除以 3x 乘以 x 平方,就是 3x 立方, 减 3x。 这些式子全都代数等价。 搞定。