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主要内容

有限几何级数公式

有限等比数列的公式是a(1-rⁿ)/(1-r)。在这个视频中,萨尔用了很好的解释来证明公式的有效。

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视频字幕

假设我们正看到一个 几何及数 关于几何及数 我们需要知道一些事情 比如,我们知道数列的第一项 是a 那是第一项 我们还知道数列之间有一个 共同的比例 我们可以叫他r 这个是共通的比例 我们知道这个是有限数列 所以有有限的项 我们假设数列有n项 那么我们可以用Sn这个表达方式 来表达前n项的 总和 这个视频的目的是想要用这个信息 来寻找一个公式 来表达前n项 一种可以算几何数列的方式 我们先写出来Sn 我们先来了解一下这大概长什么样子 Sn就会等于 这里可以放你的第一项 什么是a,什么是 第二项呢 这是一个几何数列,所以 他会有一个公约数 所以第二项是第一项乘以公约数 第一项乘以r 那么第三项呢? 第三项就是第二项 再乘以我们的公约数 所以就会是ar乘以r 我们可以这样一直到第n项 我们可以一直这么到 第n项,然后你可能 会想说就是ar的n次方 但是我们在这里要小心 因为我们的第一项其实是 ar的0次方 第二项是ar的一次方 第三项是ar的两次方 所以我们不管在哪项, 就是第几项的数字减去1 如果我们在第n项,那就会是 ar的n-1次方 我们想要一个很简单的公式 所以我们为了这个公式 需要用一个小诀窍 我们需要想想r乘以这个S是多少 我们需要把他减去 我们可以用r乘以这个和 r乘以 前n项的总和 其实,我们只是来乘以-r吧 我们只需要把这两个加起来 你会知道这样会很简洁 所以这会等于什么呢? 这就等于 其实,如果你 算a乘以-r 我们就会得到-ar 我就会这样写下来 所以如果你把这个乘以-r 我就可以把这里每一项都 乘以-r 那就是等于乘以 综合的负数 所以我可以展开r 那么如果我乘以这个的话, a乘以-r就等于-ar 那么,如果我把ar乘以-r 那么就是-ar的平方 你可以看到接下来的走向 更明确地写的话 那就是每一项乘以-r 这是这一项乘以-r 我们可以继续这么写 一直到这一项 在这个乘以-r 所以这里的前一项乘以-r就等于, 让我放上负数 那就等于-a 乘以r的n-1次方 那么这里这一项 他之前是ar的n-2次方乘以-r 那就等于 我们写在这里 然后我们终于到了最后一项 我们乘以-r 那么会得到什么? 你会得到 -a 乘以r的n次方 如果你把这个乘以-数 那么就会得到-a乘以 r的n-1次方乘以r 或者是乘以r的1次方 那么这里就是r的n次方 那么有意思的事情是,我可以 我们可以把左边和右边分开加起来 我们这么做吧 左边的话我们就得到 Sn减去 r乘以Sn 右边的话我们看一看 有一些很有意思的事情 注意,这个是a,我们还有这项 然后这个a还在这里,但是 除了最后一项 其他所有项都会被抵消掉 这两个要抵消掉 这两个也要抵消掉 我们只剩下了 -ar的n次方 这里就是-a 乘以r的n次方 所以我们可以直接算Sn 然后我们会有一个公式 看看我们可以分解出Sn 在左边 然后你就会有Sn,前n项的总和 把他约分出来 就会等于 1-r,等于 右边我们可以 分解出一个a 那就会等于a乘以 1-r的n次方 想要求出Sn, 前n项的综合 让我们期待一下 Sn就等于 这个除以1-r 那就会等于a乘以 a-r的n次方 除以1-r 然后我们就结束啦 我们找到了一个公式 代表一个几何数列 的综合 在接下来的视频里 我们会运用这个 我也希望你在能用到这个的时候 多多运用几何数列,因为很重要 现在你知道它是怎么来的话,你可以 看到每一项加起来是什么 有的时候你可以用一个sigma的方式 然后可能是在n=0的时候开始算 然后一直加到一项 这样的话你就会有 这个数字加上1 然后你需要非常小心 这里是n项 这里是第一项 我们在这里解释 N是总项数 r是我们的公共的倍数