等比数列中的总和符号.

在上一个视频中， 我们看到了一个几何数列， 或者一个几何序列，是这么一个序列-- 它的每一个连续项等于前一项乘以 一个固定值 我们把这个固定值叫做公比 比如，这儿这个序列， 每一项是前一项乘以2 这里， 2是我们的公比 任何非零值都可以是公比 公比甚至可以是一个负数 例如，你可以有 如下的一个几何序列 从1开始，而我们的公比 比如说，是-3 所以1乘以-3等于-3 -3乘以-3得9 9乘以-3等于-27 然后，-27乘以-3等于81 你可以一直乘下去 在本视频中，我想要专注于 几何数列或 几何序列的和， 我们称之为几何级数 让我们往下面拉一点 那么，我们现在来讨论几何级数， 也就是几何序列之和 所以，这么说，一个几何级数 就是这个序列的和 所以，我们有1加-3 加9， 加-27， 加81， 一直加下去 这就是一个几何级数 我们也可以对上面这个序列如是操作， 以便更清楚地理解我们正在做的 我们有3加6， 加12， 加24， 加48， 这又是一个几何级数， 即一个几何序列或几何数列之和 那么，我们怎么把它用通用项， 或许用求和符号来表示呢？ 让我们从首项开始 在这里的通用项中， 我们把这个a叫做首项 所以，我们从首项a开始， 然后我们要加的每一个连续项 是a乘以我们的公比的幂 我们将公比记为r 那么第二项就是a乘以r 而第三项是，我们用 这一项来乘以r 所以是a乘以r平方 接下来加a乘以r的3次方 假如我们只考虑一个有限几何级数 即我们不是无限地加 比如，我们一直加到 a乘以r的n次方项 a乘以r的n次方 那么我们如何用求和符号来表示呢？ 我希望你暂停视频，自己尝试一下 好了，我们可以这样思考 我会给你一点提示 你可以把这一项看作a乘以r的0次方 让我把它写下来 这是a乘以r的0次方 这是a乘以r的1次方，r的平方， r的3次方，现在你就能看到规律了 所以，我们把这个写作一个和 即这里大写的西格马符号 我们从幂次数0开始 我们可以说从k等于0直到 k等于n，而每一项是a乘以r的k次方 所以这就是，使用求和符号时 一个几何级数的通用表达式 这里r是一个非零公比 r甚至可以为负数