几何序列的递推和显式形式转换

所以这个方程是 g(x)=9×8^(x-1) 其中，x取值范围是 一个正的整数 即x为正整数 因此，我们可以说这个方程的定义域 或者说它的有效输入范围是正整数 1、2、3、4、5等等 这就是一个显式方程 我现在要做的是为这个方程 写一个递归定义 在这个递归表达中，代入任意一个x值结果都等于原方程 首先，我们来了解一下 这个方程的输入和输出分别是什么 我们先来 做一个表格 我们想一想 把很多个x的值输入运算的过程 方程定义域是正整数 我们就代入几个正整数试试 比如1、2、3、4 然后看对应的 g的值是多少 当x等于1的时候 g(x)=9×8^(1-1) 就等于9×8^0，也就是9×1 因此g(x)=9 x等于2的时候是什么情况呢？ 方程的输出就是9×8^(2-1) 就等于9×8^1 也就是9×8 结果是72 让我把这个写下来 把9×8这个式子 写在这里 那么x等于3的时候呢？ 这里就是3-1=2 也就是8^2 因此原方程就等于9×8^2 也可以写为9×8×8 我觉得你应该能看出一点规律了 当x等于4时，这里就是8^(4-1) 也就是8^3 这边就等于9×8×8×8 这就暗示了我们 如何把它写成递归方程 注意，如果我们的第一项也就是x=1时的结果是9 那么后面每一项都等于 8乘以前面那一项 这个等于8乘以前面一项 这个等于8乘以前面一项 这就是一个递归方程了 让我们先定义出基准情况 我们可以说 这里需要换个颜色，红色用太多了 就换蓝色吧 g(x) 我们就来定义基准情况 即如果x=1时，方程等于9 如果x=1，g(x)=9 这已经把第一项定义出来了 接下去的每一项 都包含前面一个g(x) 让我们写到最下面 这里是x-1，然后是x 不管乘了多少个8 这里都是g(x-1) 因此我们最开始是9，这里就是g(x-1) 我们知道对于g(x)来说 这里就是前面那一项，g(x-1) 也就是前面一项乘以8 我们就可在这里写 乘以8 对于其他任意一个不等于1的x值来说 g(x)就等于 这里用蓝色表示，即g(x-1)×8 条件是x大于1，或者x是大于1的整数 我们来验证一下这个表达对不对 我们在这里再做一个表格 这次还是用x 和g(x)来表达 但这一次我们要用 递归方程了 这个之所以被称为递归方程 是因为它这里面调用到它自己 在对自己的定义里，它就说，嘿 要是x不等于1的话，g(x)就能用g(x-1)来表示了 它用方程本身来定义自己 但是我们还是得验证一下这样对不对 看一看 x=1时 g(x)=9 等于9 这个就是一目了然 那x=2时呢？ x=2时就不满足前面一种情况了 我们需要参考下面的表达 因此，当x=2时 方程就等于g(2-1) 我把这个写下来 它就等于g(2-1)×8 也就是g(1)×8 那g(1)等于多少呢？ 看这里就行 g(1)=9 因此这就等于9×8 跟我们刚才算的结果完全一致 当然，这个就是g(2) 我把这个写下来 这是g(2) 我把它拉过来一点 就不都挤在上头了 我们来看3的情况 看看3 首先把g(3)写在这里 g(3)就等于 参考这种情况，就是g(3-1)×8 也就是g(2)×8 那g(2)等于多少呢？ g(2)刚才算出来是9×8 那这个就等于9×8（也就是g(2))再×8 你看，这和刚才算出的结果是完全一致的 这就是方程的递归定义