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例子: 有限等差数列(运用总和符号)

Sal 计算了当 k=1 到 550时,等差级数(算术级数) Σ(2k+50)的值。他运用了等差级数的公式 (a₁+aₙ)*n/2。

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视频字幕

- [画外音] 这是一个有限级数 用Sigma来表示,我建议你 暂停视频,先看能不能自己求出 这个式子的值 这个最后算出来是一个数值 我假设你们已经自己试过了 现在我们一起来算 这是一个从k=1到k=550的和 所以我们总共有550项 这个式子是求从k=1到k=550的范围内 2k+50的和 只要是求数列级数 我都喜欢先把求和的表达式展开 这样就可以感受下要求的具体是什么 我们来看看 展开后这个式子会变成 当k=1时,这个就等于 2×1+50 当k=2时,这个就等于 2×2+50 当k=3时,这个就等于 2×3+50 我们就可以一直这样展开 直到最后一项 也就是k=550为止 最后一项就等于2×550+50 我们来看 第一项 就等于52 第二项就等于2×2+50 也就是54 加上下一项,2×3=6 再加50就是56 一直算到最后 我们最后一项 2×550=1100,再加50 也就是1150 这就给了我们一个对这个级数 非常直观的感受 我们从52开始,之后每项都等于 前项加2,一直加到 最后一项1150为止 再来计算所有项的和 因为每一项都是在前一项基础上 增加相等的量 每次增加2 我们可以确定 这是等差级数 我们每次都增加 相等的量 等差级数是有计算公式的 我们首先就 直接用公式 但是待会儿我们会用另一种思路 找到一个更直观的算法 事实上,在另一个视频中我们对 公式做了证明,但是用基本公式 可以帮我们理解公式不是凭空得来的 套用等差级数的 前n项 求和公式就等于 第一项加第n项 除以2 事实上就是首项和末项的 算术平均数 你也可以用白话 平均值来表示 也就是首项和末项的平均值 再乘以总共的项数 因此如果要套用到这个题目中 进行求和到话 我们就是求前550项的和 我换一种颜色来写 我们来计算 前550项的和 就等于第一项 也就是52,加最后一项 第n项,1150 再求二者的平均值 首项和末项的平均值 再来乘以总项数 550 最后结果是多少呢? 我们来进行化简 用550/2 这一部分 我可以把它写成相乘的形式 事实上 让我来用更简便的方法计算 这一部分 也就等于 52 先做加法 1202 除以2 这个没错吧? 1202/2 ×550 1202/2=601 这就等于601 ×550 我把它乘出来 550 ×601 1×550=550 这里有一个0 十位上是0 0×550 这可是好几个0 然后算百位 6×0=0 6×5=30 6×5=30+3=33 把它们全部相加 这是0,这是5 这是5,这是0 这是3,这是3 我们就的到了330550 这就是全部各项 相加的结果 我刚说过,我们算完就会对为什么 可以用这个公式有更直观感受 我们来想想看对前550项求和 本质是什么 我写在下面这里 让我换个颜色 来写 我们刚才已经写过 前550项的和是什么 我们也说过这就等于 52+54+56 然后一直加到 1150 我再来写一次 前550项的和 但是我要把它倒过来写 显然我们可以把整个相加的顺序颠倒过来 第一项就是1150 加上1150-2 也就是1148,加上1148-2 就是1146 一直到刚才的第一项 也就是52 现在,我现在要把 上下两项加起来 得到的就是2倍的前550项之和 如果把两式的左边相加 就得到了前550项之和的2倍 在前一个视频证明公式的时候 我们已经用通用表达式推导过 但我总喜欢从具体例子来感受 公式是怎么来的,这就等于 把这边两项相加 结果是多少? 等于1202 这个数字看着很眼熟 如果把这两项相加 等于多少呢? 还是1202 如果继续项加,我猜你已经看出规律了 加起来这两项 得到什么呢? 还是1202 一直到最后两项 把它们相加,结果是多少? 还是1202 总共有多少个1202呢? 我有550个 因为总共有550项 这就等于 550×1202 如果只是求和 那么把这边除以2 这一部分 除以2 就得到了刚才我们算出的结果 550×1202/2 希望这能让你更直观地感受这个计算过程