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例子: 等差数列(递归公式)

Sal 计算了递归序列 {aᵢ=aᵢ₋₁+11, a₁=4} 的前650项的和。他先算出了第650项的值,然后应用等差数列的公式(a₁+aₙ)*n/2。

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视频字幕

所以我要递归地定义 一个等差数列 我们要说数列的第 i 个项 等于第 i - 1 个 数列的项加 11 所以每一个项会等于 比前一个项大11 现在我们必须在这里建立一个基本案例 所以我们就要说我们的 等差数列的第一项会 等于4 所以已知我们这里的 等差数列的递归的定义 我想挑战你 找到数列的 前650个项的总和 让我写下来 找到数列的 前650个项的总和 这个等差数列 我们刚刚定义了 就像往常,暂停视频 然后看看你是否能解出来 好了,所以我们该怎么想这个呢? 很多视频里我们给出了我们的直觉 关于等差数列的总和 然后我们想出了一个 计算等差数列的总和的方程 我们称为算术级数 前n个项的总和 会等于第一个项 加最后一个项 除以2 所以第一个与最后一个项的平均值 乘以我们有的项的总数 然而这仅仅是这是等差级数的时候 那是每一个我们加上的项 是固定的量大于或者少于 前一个项,或者我们有一个固定的差 所以这边这个呢? 第一个与最后一个项 会是什么,还有我们的n呢? 好吧,我们知道n是650 我们知道n是650 而且我们知道第一个项 会是什么 第一个项会是4 我们需要弄清楚第n个项是什么 或者我们需要弄清楚第650个项 会是什么 让我们想一想 所以这会是,假如我们要总和 这会是 4 加 下一个项 第二个项 所以如果 a2 等于 a1加11 这会等于 4 加 11,就是15 我们要加11,我们会得到 26,然后我们一直加11 我们要加多少次11? 为了得到第二个项 我们再加一次11 为了得到第三个项 我们要加两次11 所以为了得到第650个项 所以这是 a650 a650 我们要加11 看,为了第二个项 我们加了一次11 第三个项,加了两次11 所以为了第650个项 我们要加上11 我们要加 650减1 次11 或者649次 注意,为了得到每个项 为了得到第一个项 你加了 1 减 1 你有 1 减1 次11 你加了 零次11 你从 4 开始 完全没有加过11 然后第二个项 你加过一次11 第三个项,你加过两次11 第四个项,你加过三次11 第650个项,你加过649次11 所以如果你要加649次11 你会得到什么 所以 4加 649乘11 会等于 我要拿出我的计算机来算这题 所以这会等于 649 乘 11 等于 现在加 4 会等于 7143 7143 所以这是第650个项 7143 现在我们就可以计算这个 我要拿出计算机来算那个 所以我们有7143加4 加第一个项 加4等于那个 我们要除以2 所以除以2我们会得到3573.5 我们要把那个乘以650 那是我们拥有的项的数量 乘以650等于 这会是一个很大的数字 会等于2322775 2322775 我现在就已经忘了 我很难记住东西 当我把它从屏幕上拿下来的时候 好吧 2322775 我庆幸我手上有个计算机 来算这题,不过你可以心算 我一直鼓励你们这样做 练习算术永远不会有坏处