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代数2

课程: 代数2 > 单元 11

课程 1: 等差数列
数学
代数2
级数
等差数列
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等差数列显式和递归公式的转换

Google课堂
了解如何在等差数列的递归和显式公式之间进行转换。
在开始学习本课前，请确保你已经掌握了等差数列的 递推公式 和 通项公式 .

将递推公式转换为通项公式

等差数列的递推公式如下.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2
这个公式包含等差数列的两个信息：
  • 首项是 3
  • 要从前一项推出后一项，需要在前一项上，加 2. 也即，公差为 2.
根据以上信息，我们可以得到等差数列的通项公式.
回想一下，对于首项是 A 并且公差是 B 的等差数列，它的标准通项表达式是 A+B(n−1).
所以，上面等差数列的通项公式写为 a(n)=3+2(n−1).

看看你的知识掌握地如何

1）请写出下面等差数列的通项公式.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7
b(n)=

2）请写出下面等差数列的通项公式.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13
c(n)=

将通项公式转换为递推公式

示例 1：通项公式是标准形式

我们已知的等差数列的通项公式是下面的格式.
d(n)=5+16(n−1)
这里的形式正是标准通项公式的格式 A+B(n−1) ，其中 A 是首项， B 是公差.由此可知，
  • 数列的首项是 5，
  • 公差是 16.
我们来写出该等差数列的递推公式.回忆一下，递推公式中要包含两条基本信息：
  1. 首项（从上得知这里是 5）
  2. 后一项与前一项之间的变化规律 （从上得知是"加 16"）
因此，该数列的递推公式如下.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16

示例 2：通项公式是简化形式

我们已知的等差数列的通项公式是下面的格式.
e(n)=10+2n
请注意，这个公式 不是 标准通项公式的形式 A+B(n−1).
所以，我们不能直接从公式中找到首项和公差.我们得先算出前两项的值：
  • e(1)=10+2⋅1=12
  • e(2)=10+2⋅2=14
现在，我们就发现了首项是 12 ，公差是 2.
因此，该数列的递推公式如下.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2

看看你的知识掌握地如何

3） 等差数列的通项公式为 f(n)=5+12(n−1).
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B
A=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

4） 等差数列的通项公式为 g(n)=−11−8(n−1).
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B
A=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

5） 等差数列的通项公式为 h(n)=1+4n.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B
A=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

6） 等差数列的通项公式为 i(n)=23−6n.
请为其对应的递推公式填写相应的值.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B
A=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
B=
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数，例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数，例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

挑战问题

7） 下列公式中，哪些能表示等差数列 101，114，127，…
选择所有正确的答案:

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