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主要内容

代数2

课程: 代数2 > 单元 11

课程 1: 等差数列
数学
代数2
级数
等差数列
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等差序列公式导论

Google课堂
熟悉等差序列的显式和递归公式的基础。
在开始这节课之前，请确定你已经了解了 基础的等差数列 并且有了一些 计算函数 和 函数的域的经验。

公式是什么?

我们习惯于这样描述等差数列：
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
但是其实有一些其他的方法。在这节课中，我们会学习两种新的方式来表示等差数列： 递推公式 和 显示公式。 公式提供给我们了找到一个序列任何位数数值的方法。
为了统一，公式用序数 n 来表示第几位数，a, left parenthesis, n, right parenthesis 表示序数n 对应的数值。举例来说， 这里是等差数列3, 5, 7, ... 的前几位。
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(序数)(序数n对应的数值)
13
25
37
我们在上面提到公式提供给我们了找到一个序列任何位数数值的方法。 现在我们可以这样说：公式让我们可以找到任何序数n对应的值a, left parenthesis, n, right parenthesis。

看看你的知识掌握地如何

1) 找到3, 5, 7, ...中的a, left parenthesis, 4, right parenthesis
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

2)对于任何序数n， a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 是多少？
选出正确答案：

递推公式和等差数列

递推公式给了我们两个信息：
  1. 一个数列的第一个序数
  2. 通过序列中前一个数去得到后一个数的规律模式
这是一个对序列 3, 5, 7, ... 各个部分的描述的递推公式。
{a(1)=3←第一个数是3a(n)=a(n−1)+2←在前面数的基础上加上2\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{第一个数是3}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{在前面数的基础上加上2}} \end{cases}
比如为了找到第5个数，我们需要一个一个数的推出后面的序列：
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
好酷！通过这个公式我们有了和 3, 5, 7, ...一样的序列。

看看你的知识掌握地如何

现在轮到你来通过递推公式找到数列中的数了.
正如我们使用 a, left parenthesis, n, right parenthesis 来表达 n, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript 项序列 3, 5, 7, ..., 我们可以使用其他字母来表示其他序列。例如, 我们可以使用 b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis, 或 d, left parenthesis, n, right parenthesis。
3) 通过这个公式找到b, left parenthesis, 4, right parenthesis的值 {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

4) 通过这个公式找到 c, left parenthesis, 3, right parenthesis 的值{c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

5) 通过这个公式找到 d, left parenthesis, 5, right parenthesis 的值 {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0.4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0.4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

等差数列的通项公式

这里是序列 3, 5, 7, ... 的显示公式
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
通过这个公式我们可以直接很简单的计算出某一个序列书对应的数值是多少。
举例来说，为了找到第5个序列数的值，我们只需要代入n, equals, 5到这个显示公式里.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
瞧瞧看！ 这与前面我们得到的结果是一样的！

看看你的知识掌握地如何

6) 通过 b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 找到序列中 b, left parenthesis, 10, right parenthesis 的值
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

7) 通过 c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 找到序列中 c, left parenthesis, 8, right parenthesis 的值
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

8) 通过 d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, point, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 找到序列中 d, left parenthesis, 21, right parenthesis 的值
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

序列就是函数

可以注意到的是我们再这节课里用到的公式就像 函数 一样： 我们输入一个 n， 然后通过公式可以得出对应的 a, left parenthesis, n, right parenthesis。
序列实际上是被定义为函数的。但是，n 不能是一个实际的数字。 一个序列也不会出现第负四位，或者第0.4位。
这就意味着序列的域——就是所有可以作为函数的输入值的集合——是正整数。

关于计数符号的说明

我们一直像这样在表示 a, left parenthesis, 4, right parenthesis，这个是为了表示第4个数，但是有些别的地方会这样写 a, start subscript, 4, end subscript。
这两种计数符号的使用都是正确的.我们在这里使用 a, left parenthesis, 4, right parenthesis 是因为我们想要强调序列其实就是函数.

反思题

9) 用那种公式来找到一个序列的第100个数会更快？
选出正确答案：

挑战问题

10) 一个等差数列的显示公式是 f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
第几个数的值是-65？
序数
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
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