数列的应用题: 增长模型

这题问的是，什么方程能描述这个方块序列的增长模式 这题问的是，什么方程能描述这个方块序列的增长模式 我们来求解，如果我知道 x=10 我会有多少个方块？ 我们先来看图 序列里的第一项，也是第一个物体 第一个图里的方块只有1个 第一个图里的方块只有1个 来我们写在这里 一列是项数（term），一列是方块个数 第1项，对应1个方块 第2项，我写在下面这里 我们有几个方块呢？ 这里看起来像保留了第1项的1个 又加了另外4个方块 所以 1+4=5 第2项，对应5个方块 是加了4个得到的 那么看第3项呢 有什么变化？ 看起来像保留了第2项 又多加了一列4个方块 对吧？ 增加了这样一列 想象这里在图形左边增加一列 想象这里在图形左边增加一列 又多了4个方块 现在就是9个 所以这个规律就是每次增加4个方块 所以这个规律就是每次增加4个方块 这里的第4项也是一样 保留了第3项的这些 我画出来这些是第3项的样子 然后在左边增加一列4个方块 9+4=13 第4项，对应13个 现在如果我们想用一个方程式来描述 无论是看图形，还是看这里列出的数字 无论是看图形，还是看这里列出的数字 第一种解法是这样 当 x=1 时，我们用 x 表示第几项 x=1时，只有1个方块 当 x=2 时，我们加了一列4个方块 也就是 1+4 当 x=3 时，我们加了两列4个方块 当 x=3 时，我们加了两列4个方块 或者说 x=1 时，我们加了0列，可以吧？ 或者说 x=1 时，我们加了0列，可以吧？ 就是没有增加的一列4个方块，没有 就是没有增加的一列4个方块，没有 当 x=4 时，我们增加了三列 当 x=4 时，我们增加了三列 这里的图形是什么？ 我们怎么通过项数来表达方块数量的变化 我们怎么通过项数来表达方块数量的变化 我们一直都有最开始的这1块 我们一直都有最开始的这1块 我写在这里 方块数= 我们一直有这个1块，对吧？ 第1项有1，第2项有1 第3项有1，第4项有1 一直有这个1，再加上几列 每列4个方块，但是加几列呢？ 当 x=1 时，没有列，0列 当 x=2 时，有1列 当 x=3 时，有2列 所以无论 x 等于几 我们都加了比 x 少1列的方块 也就是 x-1 列 x=2，x-1=1 x=3，x-1=2 我标在图上 这里是 x-1 这里也是 x-1 这就表达了应该加几列 这里我们有1、2、3列 这里有1、2列 这里只有1列 这里是0列 所以连第一项也是符合的 我们把这些列表达为 (x-1) 列 每列有4个方块 所以用多少列的数字乘以4 每列都一样 这列有1、2、3、4个方块 这就是表达增长模式的方程式了 我写下来，再化简一下 (x-1) 乘以4 方块数 = 1 + 4 (x-1) 乘法分配律 4乘以x等于4x 4乘以负1等于负4 这就是方块数的表达式 化简 1- 4 = -3 4x - 3 方块数 = 4x - 3 如果想求出第50项，即 x =50 4 x 50 - 3 = 197 个方块 另一种解法是这样 每增加4个方块 都是一个线性关系 可以求出这条直线斜率 但要假设这条直线只能取整数值 那会有点复杂 但思路就是这样 每一项增加的方块，都是加4个 每一项增加的方块，都是加4个 我们这样写 变化量，我用三角表示，读做 戴尔塔 (Delta) 变化量，我用三角表示，读做 戴尔塔 (Delta) 表示方块数的变化量，除以 x 的变化量 你可能已经认出来了，这就是斜率 你可能已经认出来了，这就是斜率 如果你还没学过斜率也不用担心 你就用刚才讲的第一种解法做就好了 你就用刚才讲的第一种解法做就好了 那个是很自然的方法 而且希望能顺便帮你理解什么是斜率 斜率，就是随 x 变化而产生的方块数的变化 当 x 从1变为2的时候 x 的变化量 = 2-1 =1 方块数怎么变的呢？ 增加了4，也就是 5-1 增加了4，也就是 5-1 斜率等于几呢？ 4/1=4 我拖过来一点点 方块数随着x 的变化而变化的量是 4 斜率就是4 如果你想这样建立直线方程式 如果你想这样建立直线方程式 我们写在这里 方块数 = 4 乘以 项数 x 方块数 = 4 乘以 项数 x 再加上常数 b 这就是一条直线的表达式 如果还是看不懂也没关系 就用最开始讲的第一种解法做 接着说这里的常数 b 是几呢？ 一直有的就是1 第1项里有这个1 1个方块 我们这样写 4x + b，第1项 x=1 方块数 = 1 = 4 (1) +b 1= 4+b 等式两边同时减 4 得什么呢 左边是 1-4 = -3 右边是 4 减 4 消掉 只剩下 b = -3 所以第二种解法，直线方程式法 我们已经算出 b = -3 我们要求解的是 方块数如何随着 x 的变化而变化 我们看到每次方块数都是随着项数 x 变化而加4 我们看到每次方块数都是随着项数 x 变化而加4 x 每加减1，方块数就随之加减4 这就是斜率 把方程式看作直线 尽管只能取整数值 正整数值 这里，你就可以把它看成 Y轴截距 为了求这个常数 我们选一组值，可以任意选 这里我们就选 第1项 和 1个方块这组 你也可以用第3项和9个方块那组 其他组也都可以 我们求出了 b = - 3 所以这里 4x -3 就验证了 1= 4 - 3 =1 希望你学的开心