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方程式中的正弦函数振幅&周期

Sal求出了 y=-0.5cos(3x) 的振幅与周期。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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我们要判断y的振幅和周期 = - 1/ 2cos3x。 首先我们不得不问我们自己 振幅是指什么? 一个周期函数的振幅 是最小值和最大值 之差的一半 如果我画出这样的周期函数, 它就会在两者之间来回走 我把它画简洁一点, 它在两个值之间来来回回。 所以在这个值和那个值之间 取两者之差,它的一半 是振幅。 另一种思考振幅的方式 就是它从中间位置摇摆的程度是多少。 在这里,我们有y等于 - 1/2 cos3x 那么它的振幅是多少? 好吧,想想看简单的方法 是什么在相乘余弦函数。 你也可以做同样的事情,如果它是正弦函数。 我们有负1/2乘以它。 因此,振幅在这种情况下 是 - 1/2的绝对值, 等于1/2。 你可能会说,为什么我不在乎符号吗? 我为什么要它的绝对值? 负值会翻转函数。 不会改变 最小值和最大值之间的间隔。 另一件事是,为什么 可以简单取绝对值? 为了得到 y 值 只要记住余弦,或者正弦函数 在 -1 和 1 之间变化, 如果它只是一个简单的函数。 这就是将其乘以 1 或 -1。 所以如果正常情况下的振幅, 如果你没有任何系数, 如果系数是 1 或 -1, 振幅就是1。 现在,你正在改变它,也就是 乘以这个数。 所以振幅是1/2。 现在让我们想一想周期。 我想问的第一个东西是 一个循环性函数的周期 或者周期类函数 这个周期 究竟指的是什么 让我来在这个函数上画一些轴线 我们假设这个是 y 轴 这个是 y 轴 为了解题方便,我们假设这个 是 x 轴 所以这个函数的周期 是函数开始 有规律地重复出现的 最小区间 所以这是什么意思呢 什么在重复? 也就是图像先往上,再往下 先下,再上 在这个情况里,有重复图像的最短的区间 是函数重复出现的最短的区间 这个是最小的重复的图像 所以这个长度就是周期 之后我们可以到这里来,这是另外一个周期 还有其他几个,并不是只有一个 你可以选很多个 你也可以说,我可以从这里定义我的图像 从这里上去,从那边下来 你就可以说这是最小的区间 之后你就会看到 如果你往负数的方向去 下一个重复的图像 就是在这里 但是无论怎样你都会得到同样的长度 去重复这个图像 所以这样的话,这个函数的周期 是什么? 为了算出周期,我们用2 *Pi 除以这个项数的绝对值 除以这个项数的绝对值 所以我们就是除以3, 也就是3 我们得到 2*Pi/3 现在我们要考虑为什么这个可行 如果你考虑一个余弦函数, 传统的余弦函数或传统的正弦 它的周期是2π 然后你再想一个单位圆 假如你从0开始,走了2π弧度之后 你就回到了原点 2π弧度,然后再来2π 又回到了出发点 假如你反着走2π 你也回到了出发点 从任何一个角度这开始,走2π 你回到了开始的地方 往回走2π,你回到了开始的地方 所以这些的周期都是2π 那这个周期是合理的原因是 这个系数让你能更快的达到2π 或者负的……但在这题里是2π 让你能更快地达到 2π 所以,你的周期会变小 长度会变短 你到2π的速度会是之前的三倍 那现在你要问了,为什么 要在这里取绝对值呢? 假如这个是负数 那你到负2π的速度会更快 但无论怎样,你都走完一轮 现在我们搞定这个了 我们来看两样东西 我们来画-1/2cos(3x) 我在这画上坐标轴 我尽力了 这是我的y轴 这是我的x轴 然后让我画几个点……这是0 x等于0 然后让我画x等于正1/2 我画在这儿 x等于正1/2 我们还没有将这个函数向上或者向下平移 假如我们需要的话,可以在这加一个常数 在余弦函数外面 这是正1/2,或者就直接写1/2 然后下面这个是负1/2 我画一下边界 我就直接画虚线了 这样好画一点 当x是0的时候会怎样 cos 0是1 但我们还要乘-1/2 所以是-1/2 然后它会向上走 它只能往这个方向走 因为是有界函数 它会往上走,然后再往下回来 回到开始的点 就在这儿 那么问题来了,这个距离是什么? 这个的长度是什么? 这个的长度是什么? 我们知道周期是 2π/3 它到这个点的速度 是正常余弦方程的三倍 所以是2π/3 假如你再来一个2π/3 它又会回到同一个点 所以再来一个2π/3,也就是 4π/3,你又走完了一轮 所以这边这个长度是一个周期 你还可以往反方向 做同样的事 所以这边这个是-2π/3 看一下振幅 这有两种方法 一个是最大值和最小值的差是1 一个是最大值和最小值的差是1 然后一半是1/2 或者你可以说它从中间位置 往正的或者负的 方向偏离1/2