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主要内容
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三角文字问题: 塑造每日的气温

视频字幕

约翰内斯堡6月的日低温通常在3摄氏度左右 日高温通常在18摄氏度左右 日间温度通常在上午10点的每日最高值, 和晚上10点的每日最低值之间,最高温度出现在下午 写出一个三角函数,模拟在约翰内斯堡 午夜t小时后的温度T,那么让我们来 思考一下这个图表看上去大概是什么样子的,那么假设 这是温度轴,单位是摄氏度,所以这是温度 首先我要画两个不同的函数 然后这就是我的温度轴,这是以小时为单位的时间轴 所以这是以t为小时单位的时间轴,然后我们思考一下温度的范围 日低温是3摄氏度左右 日高温是18,所以我们在这里标注18 这里是3,我们也可以计算18和3之间的中点 也就是上午10点与下午10点之间,18加3式21,除以2是10.5所以 中点或者说三角函数的中线是 10.5摄氏度,那让我来画一下中线 所以函数会围绕这里振荡 日高温大约是18摄氏度 日最低温度大约是3摄氏度 就像这样,所以函数沿着这条中线振荡 然后到达最低点和最高点,简单来说 在上午10点和晚上10点时,温度达到10.5度 为了简化这个,我不打算马上解答这个问题,问的是午夜后t 小时的气温T 我会定义一个新的函数F(t),小写的t 等于约翰内斯堡的气温 我们假设背景就是在约翰内斯堡了 上午10点之后t小时的气温 我选10点的原因是我们知道上午10点时气温在中线上 10点之后t小时。因为如果我想画出t = 0时F(t)的图像, 意味着在上午10点的时候,也就是 每日的低温和高温的中点 现在这个三角函数的周期是24小时后 我们就回到我们了早上10点 所以周期是24小时我把24小时写在这里然后这是12小时的一半 12个小时之后发生了什么?12个小时之后我们回到晚上10点。 我们又回到了高峰和低谷的中间,然后24小时后又回到了早上10点 这些都是F(t)上的点现在让我们想想 在上午10点开始之后会发生什么 那么从上午10点开始,我们已知最热 最热的最高气温在下午 大概在这附近,然后气温会上升到最高点 就差不多在这两个的中点也就是 上午10点以后的第6个小时,也就是下午4点,这是下午4点的最高温度 让我我来画一条曲线,看起来就会是这个样子 然后看我们的低点,那么现在在晚上10点,然后再过6小时后 也就是早上4点也就是低点,即早上10点的18小时后 温度低点大概在这里 曲线大概是这样的 在我们尝试做出T(t)模型之前,然我们来看看 表达式,显然继续这样持续下去 到上午10点之前,很显然它会一直这样循环下去 那F(t)的表达式是什么,我还是建议 你暂停视频然后尝试去思考一下 你说这可能是正弦函数或者余弦函数 你可以用它们中的任何一个来建模 但最简单的方法就是函数在中线上 当函数自变量为0时,sin(0) 是0,如果我们不把这个函数上下平移 只是一个纯粹的不平移正弦函数sin(0)是0 然后正弦值开始增加,像这样振荡 所以看起来正弦是一个很好的模型,同样的你可以用 任何方式来建模,但我感觉这个会更简单一些 现在我们来考虑振幅,从中线看 最大方差是多少,这里比中线高7.5 这里比中线低7.5,所以振幅是7.5,让我用 另一种颜色来表示这样你们就能看到这些是怎么来的 这是7.5,这是7.5,所以振幅是7.5 那周期是多少?我们已经讨论过了周期是 24小时,是这一段距离是24小时,这是完全说得通的 24小时候又到达了相同的点,因此用2π 除以周期也就是除以24再乘以t,如果你忘记说 如果你忘了用2π除以周期你可以提醒自己这是什么 当t等于0时,正弦函数里的自变量 就等于0,也就是在这里,然后当t等于24 整个自变量就等于2π,如果从正弦函数的输入值角度出发 相当于围绕单位圆旋转一圈,现在我们差不多做完了 如果我把它画出来这就会在0附近有一条中线 但是我们看到的是所有东西都向上移动了10.5所以 还要将它向上移动10.5,现在我们就成功地 建模了, 我们可以稍微简化一下 可以写成π/12而不是2π/24 这里模拟的是约翰内斯堡上午10点再数t个小时后的温度 这不是题目的要求,题目想让我们建模的是 午夜后再数t个小时的温度,那么T(t)应该等于什么呢,让我们把这个稍微移动一下 我们来思考一下,我把它写出来T(t) 我们现在是在建模午夜后的t小时了 所以是相同的振幅,相同的从中线开始的方差 所以是7.5乘以sin,用同样的颜色 这样你可以看到什么变了,什么没变,乘以sin,这里不用 2π/24了,我用π/12来代替t,然后将t 向右或向左移动,实际上你可以向任意 方向移动因为这是一个周期函数 我们要考虑移动多少,所以t就等于加上或减去某项 现在我要把它平移了,加上10.5 在我的脑海中,我需要用很多不同的方式来思考这个问题 确保我把它移到正确的方向 这里是上午10点,我们在t等于0点的位置 这是上午10点之后的0小时,但在这个函数中,哪里是上午10点呢 在这个函数中,上午10点,我这样写,上午10点是午夜后10个小时 所以T(10)这是午夜后10小时 应该等于f(0),因为说的是在上午10点之后的几个小时 这是上午10点,这表示上午10点的温度 这里由于是大写的T函数 代表午夜后几个小时,这也是上午10点的温度 所以我们想让T(10)等于f(0)或者说,另一种思路是 当f(0),也就是整个自变量为0时,我们想让这整个自变量 为0,即当t为10,怎么做到呢?这是t - 10 注意T(10)在这里放一个10,整个式子 变成0了,剩下10.5,然后这里和f(0)是一样的 整个式子变成0,然后这里剩下 10.5,所以T(10)就应该是F(0),如果我们想画出它的图像 我们已经回答了题目的问题了,如果我们在这里放一个10, sine的自变量就为0,这两个式子是等价的 我们还是来画一下T(10)吧,如果我们画大写的T(10) 所以这是6、12,我们看一下,10大概在这里 T(10)就等于F(0)就像这样 然后实际上我们只是把所有的东西 都向右平移了10,这是说得通的,因为无论你在上午10点之后 过了多少个小时,都要再过10个小时 才能到达午夜之后的同一点 所以这个曲线看来,都要移动10个单位 曲线应该是这样的,我看一下,如果这是平移了10个单位 所以然后是16个小时,我们看一下 它大概是这样的,当然它会像这样一直振荡下去 所以本质上我们只需要向右移动10 然后自变量我们要用t - 10来替换t,这就是原因所在。