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主要内容
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变换正弦图:垂直拉伸和水平反射

视频字幕

我们需要做出函数 y=2sin(-x) 在 闭区间 -2π 到 2π 的图像。 要画出这个函数的图像, 我要先给出函数 y=sin(x) 的图像, 然后考虑图像怎样由于这个 2 和这里的负号而产生变化。 我们先来看 x 的正弦的图像。 我们画出我们的 x 轴, 我们画出 y 轴。 这很简单。 我们只关心 -2π 和 2π 之间。 这是 -2π, 这里是 -π , 这里当然是 0, 这是 +π, 这里是 2π。 这里是 1, 这是 2, 这是 -1, 这是 -2。 现在我把这些拷贝下来,以便后面 在对图像进行调整时可以用。 我来拷贝一下。 好了,我们来看 sin(x)。 当 sin 是 0 的时候,会是怎样? 当 sin是 0 时, 奥,对不起,当 x 是 0 的时候, sin(x) 是 0。 我要在这里画一个单位圆作为参考。 这是我脑子里要想的, 以便找到 三角函数的值。 这是 x , 这是 y, 画一个单位圆, 还记得吧,这里 x 是对角度而言。 这是半径为 1 的单位圆。 当 角度为 0, sin 就是这里的 y 坐标。 sin(0) 是 0 , 随着sin 值增加 一直到 sin(π/2) 它的值是 1, sin(π/2) 的值是 1。 sin(π) 的值是 0, sin(3π/2) 的值是 -1 , sin(2π) 的值回到 0。 这样,如果我要画出曲线,我需要看到这些点, 在 0 到 2π 之间,曲线就是这样的。 我们还要做出负方向的图像。 我们来做负方向。 在负的方向, sin(-π/2) 是 -1, 对于 -π,你回到 0, -3π/2,你转到这里, 一直转到这里,sin 值等于 1, sin 值等于 1, 然后 2π ,sin值 回到 0。 所以,曲线就是这样的。 这对应于负的方向, 在 0 到 -2π 之间。 这和我们学过的关于正弦的各种知识相吻合。 关于sin(x) 的周期, 你能看到, 这里有一个系数为 1, 所以,周期就是 2π 除以 1 的绝对值。 这比较明显,就是2π 或者你从这里可以看到,周期是2π。 最少需要2π的长度来重复图形的模式。 那么幅度是多少什么呢? 图形在 1 和 -1 之间变化 最大值和最小值之间总的差别是 2, 它的一半是 1。 关于幅度,另一个考虑方式 就是从中值变化的幅值是 1。 这很简单。 让我们做一点变化。 让我们做出 y=2sin(x) 的图像。 我来画一下。 我把数轴放在这里。 把它放在这下面。 当我们有 y=2sin(x) 时, 图像会是什么样呢? 这个图像会发生什么变化呢? 我们所做的就是把这个函数乘以 2, 那么现在,这个函数的任何取值都要两倍于它的值。 2 乘以 0 是 0 2 乘以 1 是 2 2 乘以 1 是 2 2 乘以 0 是 0 小心! 2 乘以 1 是 2 是在 π/2 2 乘以 0 是 0 2 乘以 -1 是 -2 2 乘以 0 是 0 看起来 在 0 和 2π 之间,应该是这样的, 看起来是这样的。 我们继续做负方向的图像。 2 乘以 -1 是 -2 2 乘以 0 是 0 2 乘以 1 是 2 2 乘以 0 是 0 在负方向,图像看起来是这样的。 我尽量把它画成平滑曲线。 希望你们能理解这其中的含义。 图像就是这个样子, 那么发生了什么变化呢? 最小值和最大值之间的差别 增加到原来的两倍。 总的差别是 4,它的一半是 2。 那么,它的幅值是多少? 幅值是 2。 你可以认为是 2 的绝对值。 这是常识。 这里的幅值是 1,但是现在,你从中值离开了两倍远。 因为你乘了 2。 现在,回到 sin(x) 我们把它变成另一种形式, 让我们做出 sin(-x) 的图像。 我们再把图纸放在这里, 现在我们要画 sin(-x) 的图像。 y=sin(-x),至少我先不管这个 2, 我只是把 sin(x) 变成 sin(-x) 我们想一想我们会得到什么样的函数值。 当 x 是 0 它还是 sin(0) 也就是 0 当 x 增加,当 x = π/2, 我们输入到正弦函数的角度-- 必须得乘上这个负号, 所以, 当 x = π/2 我们要取 sin(-π/2) 的值。 sin(-π/2) 等于什么?从这里我们能看到,它的值是 -1。 它是 -1。 然后, x = π,sin(-π) ,我们看到是 0。 当 x = 3π/2,它就是 sin(-3π/2), 它的值是 1。 当 x = 2π ,sin(-2π) 它又是 0。 注意到当我们试图做出 0 和 2π 之间的图像时, 我一直在参考负方向的点, 你可以想到,就是取这里在负方向 0 和 -2π 之间的图像 然后将他反转得到这里的图像。 这看来就是 -x 的作用。 同样的逻辑,当我们做负方向的图像时, 当 x = -π/2,在它前面有一个负号, 它就是 sin(π/2) ,就等于 1。 你可以把它绕 y 轴翻转。 所以, 实际上我所做的, 就是图像翻转, 我们把 sin(x) 的图像相对于y 轴进行反射, 我们已经把图像绕 y 轴进行了反射。 这是 y 轴,希望你们能看出这种反射。 这就是 -x 的作用。 那么现在,我们来考虑它们的组合, 前面有 2,这里有 -x, 我们再把数轴放在这里。 让我们一起根据要求来做。 我用一个新的颜色。 用蓝色来做。 我们来做出 y = 2sin(-x) 的图像。 在前面我们已经做出的图像的基础上, 这个图像会是什么样呢? 我们将怎样进行变换? 如果我们要从原来的 sin(x) 变换到 y=2sin(-x) 我们可以有两种方法, 你可以用 2sin(x) 这里,我们是把它乘以 2 得到 2 倍的幅值, 然后你可以说, 我要进行翻转来得到, x 的负方向的图像, 这样,如果进行翻转,你就会得到 我先把我们要翻转的图像表示清楚, 我取 0 和 -2π 之间的值, 然后翻转。 原来在这里的图像,相对 y 轴反射。 现在,你有, 图像先走向负方向, 然后返回 0 然后走向正方向, 然后走到这里。 要把 2sin(x) 变成 2sin(-x),我做的 就是相对于 y 轴进行反射。 那么当然,对于 0 到 -2π, 你就需要看0 到 2π 之间, 它先是向上, 向上然后向下, 让我画得更好, 更整洁一些。 向下,然后向上, 这是对 0 和 2π 之间图像的反射。 在这里,你可以看到。 或者,你可以从 sin(-x) 做起,然后到 2sin(-x) 注意到从 sin(-x) 到 2sin(-x) 发生了什么, 这个图像和这个图像有什么不同呢? 我们看到幅值是原来的2倍。 我们是把这个函数乘以 2。 所以我们得到 2 倍的幅值。 我最后的想法和给你们提出的问题是, 2sin(-x) 的周期是什么。 它和 sin(x) 的周期有什么关系? 有两种方法考虑这个问题。 你可以--我给你们一点时间考虑, 有两种方法考虑这个问题, 你可以参考这里的图像, 或者,你可以考虑公式,或许现在用公式会更简单一些。 如果你用经典的公式, 周期就是用 2π 除以这个系数的绝对值, 去找出要到 2π 快了多少。 -1 的绝对值是 1, 那么就得到 2π, 你得到了和 sin(x) 完全相同的周期。 你可以看到, 每 2π 完成一个循环。 那么,什么是不同呢? 周期是相同的, 但这个负号不能忽略, 它没有改变周期,但它却改变的图像的样子。 当我们开始让 x 增加时, 它的正弦不是像 一般的正弦函数那样 在 x 增加时走向正值, 它要取 -x 的正弦。 要取负角度的正弦值。 这就是为什么你要从正弦的负值出发。 也有另外的考虑方法, 如果你想进一步考虑它。 它就是 sin(x) 相对于y 轴 进行反射。 这两个是反射,这两个是反射。 这个的幅值是它的两倍, 而这个的幅值是它的两倍。