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主要内容
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视频字幕

你现在可能比较习惯 用度数来衡量角。 这个方法和我们在日常生活的语言一致。 这这个播放列表中我们举过一些例子, 比如有一个象这样的角,你 可能称它为 30 度的角。 要是有一个象这样的角,你 可能称它为 90 度的角。 我们通常用这个符号来标识。 如果画 180 度的角, 实际上是一条直线。 我来把这些角画正规些。 如果要表示 360 度角,实际上 要转一整圈。 如果你在看奥运会的花样滑冰, 其中有选手做了这么一个旋转,解说 就是做了一个 360 度的动作。 或者在滑板比赛等类似的活动里, 也有这样的说法。 但是有一件事必须说清楚 - 也许一开始不见得是 显而易见的 - 这个用度来作为角的衡量系统 是人为设置的。 这当然也不是唯一可以用来度量角的方法。 如果你对这件事加以思考,可能 会问,为什么把旋转一周称为 360 度? 有一些可能的原因。 我希望你能对此加以思考。 我们的文化中为什么把 360 度当作旋转一周呢? 有几个原因。 一是古代的日历。 与现代的日历相近, 古代的日历一年有 360 日。 因为当时的天文学家观测到某些 天体每天在天上的位置移动 1/360。 另一个原因是古巴比伦人 特别喜欢等边三角形。 而且他们用六十进位制来计数。 因此他们有六十个数字符号。 我们只有十个。 我们用十进制。 他们用六十进制。 在我们的计数体系里,我们喜欢把数分成十个一份。 他们可能习惯于把数分成 60 个一份。 所以如果把一个圆周分成 6 个等边三角形,而且 因为 60 进制的原因,又把 每个等边三角形分成 60 等分, 就形成了 360 度。 在本视频里我要介绍的是 另外一种衡量角的方法。 而另外的这种方法 - 虽然一开始你可能 觉得不够直观 - 在某些方面 比起用度来衡量更象一个纯数学的方法。 它不是基于 60 进制这种人为的文化 传统或天文学规律。 比较而言,一个其它星球的外星人 可能不会使用度这个角的衡量单位,如果是因为度和 天文现象的联系则特别不可能。 但是他们可能会用我们将要定义的单位弧度。 弧度是比较而言纯数学的单位。 因此我们切入正题来介绍弧度的定义。 我先在这里画一个圆, 我要尽量把它画好。 凑和。 我把圆的中心画出。 现在我再画出其半径。 谈起半径 - 你可能知道英文里 半径和弧度这两个词很象。 这不是巧合。 假如这个圆的半径长度是 r 。 现在画个角度。 这个角度我称之为 θ。 我们画一个角度 θ。 这个角我们就叫它 θ。 为了说明这个新的定义, 我们假设这个角度 所对应的弧线长度刚好 - 下面仔细说明。 我先来画这个角。 画了这个角,还要注意 观察该角所对应的弧。 这里所说的是圆周上 和角的两边相接的弧。 因此这段弧和角 θ 对应。 我把它写下来。 角 θ 所对应的弧。 假设角 θ 的大小是刚好使它对应的弧线长 等于该圆的半径。 因此这段弧长等于半径 r 的长度。 根据上述情况,如果你要定义一个新的衡量角的 单位,并且称之为 弧度,它和半径有联系,那么这个角 应该是多少弧度? 显然就是一个弧度,如果 知道一个弧度所对应的弧长 应该等于半径的长度。 看一下,这就是所对应的弧长 等于一个半径的情形。 因此我们称该角度为一个弧度,而 这刚好就是弧度的定义。 如果有个圆,而且有个来自圆心的角是一个弧度, 那么这个角所对应的弧长刚好等于圆的半径。 你可以想象当我们把这个定义用于 更多有关圆的情况时会更方便。 如果用度告诉你一个角的大小,你得考虑 有关周长的计算然后 才能得出该角所对应的 弧长是半径的多少倍。 如果用弧度单位,你立即就知道 该角所对应的弧长是多少。 我们来思考几个例子。 我们要用弧度单位来 衡量 - 我先画个圆。 圆心在这里,而这里是角的起始线。 因此如果有一个角(整个一周) - 而我需要 以弧度为单位来衡量它,这个角是多少弧度? 你马上就可以想到该角度和半径的关系。 这个角是多少? 以度为单位,旋转一周 是 360 度。 根据弧度的定义,它该是多少弧度呢? 想一想对应这个角的弧长。 对应这个角的弧长是 这个圆的周长。 一个圆的周长是 半径的多少倍? 如果这个长度是 r,就是半径的长度为 r, 这个圆的周长是 r 的多少倍? 这我们知道。 周长等于 2 πr 。 所以再看这个角,它所对应的 弧长是半径的多少倍? 它是 2 π 乘以半径。 就是 2 πr 。 因此这个绕了一圈 的角 -假设这是角 x 。 本例中角 x 等于 2 π 弧度 。 而这个角对应的弧长为半径的 2 π 倍。 如果半径是一,那么这个弧长 就是半径的 2 π 倍,即 2 π 乘以 1。 从这个结论,我们来思考 如何在弧度和度之间 进行转换。 在这里我们可以接着往下推导。 如果旋转一整圈 - 就是 2 π 弧度 - 那么它是多少度呢? 答案我们已经知道。 旋转一整周是 360 度。 我在这里可以用文字写度, 或者用这个表示度的小标记。 我还是用文字表示度。 因为我们在用两种单位,这样表示 看起来清楚一些。 如果要简化这个式子, 可以在等式两边都除以 2。 这样从左边看,我们得到 π 弧度,应该等于多少度呢? 它应该是 180 度。 我可以用两个方法表示度数。 从这里可以看到,这是 180 度。 而且你也可以看到如果画一个圆周, 这里是圆周的一半。 所以这部分弧长,或者说对应这个角的弧长, 是圆周长的一半。 圆周长的一半就是半径的 π 倍。 因此这个角就是 π 个弧度。 π 个弧度就是 180 度。 从这里可以导出这两种单位转换的方法。 这样一个弧度有多少度呢? 要知道答案,必须在等式 两边都除以 π 。 这时在左边, 就是 1 个弧度。 我就是在等式两边都除以同一个数。 我要把这个代数推导过程写清楚, 不是什么神秘的过程。 所以我只是在两边除以 π 。 左边的系数就只剩下 1 个弧度。 右边就得到 180/π 度。 因此 1 个弧度等于 180/π 度, 这个数字可以用在 度和弧度的转换中。 我们从另一个方向来思考。 如果我有 1 度的角,等于多少弧度呢? 我来把这个式子 重写一遍。 已知 π 弧度等于 180 度。 现在我们需要考虑 1 度是多少弧度。 我们来求解 1 度。 为了求 1 度,把等式两边除以 180。 我们得到 π/180 个弧度等于 1 度。 这样 π/180 个弧度就等于 1 度。 这个换算式子可能看起来挺复杂。 我第一次见到它 就是这样的感觉,因为我们 在日常生活中没有见过这样的式子。 我们在下面几个例子中将要看见的是, 只要我们记住 2π 个弧度就等于 360 度, 或者说 π 个弧度等于 180 度就行。 这两个转换关系很容易推导出来。 怎么能记住到底是该用 π/180 还是 180 / π 呢? 实际上只要记住这么个直观的结果, 就是 2π 等于 360 度。 下一个视频里,我们要通过几个例子 让自己熟悉这两个角度 单位之间的相互转换。