切线特性：对称性

在上一个视频里，我们一同探索了 图中这些角的正弦和余弦之间的关系 我们把一个角的终边分别 沿x轴翻折，沿y轴翻折，沿x轴和y轴翻折 在本视频中，我打算考虑一下 这些角的正切 先来点复习 我们知道，θ的正切等于 它的正弦除以它的余弦 根据三角函数的单位圆定义 它表示的实际上就是 “终边的斜率” 我们应该记得，斜率等于 纵坐标的变化 除以横坐标的变化 假如我们从原点出发 纵坐标从0变成sinθ 纵坐标的变化量就是sinθ 与此同时我们横坐标的变化量是多少呢？ 它是cosθ 所以这里等于Y的变化量 除以X的变化量，对终边而言 因而tanθ既等于sinθ除以cosθ 也可视作 此处这条射线的斜率 我们来想想，其余这几个角中是否有角的正切值 与刚才那个角的正切值完全相等？ 你看，这条射线与刚才那条共线 实际上，假如你把它们合在一起，就会得到一条直线 所以此处这个角的正切 这个走了一大圈的粉色的角 π+θ的正切 或者说θ+π的正切 ——显然你可以把π+θ 改写成θ+π 根据刚才关于斜率的讨论 它应该等于θ的正切 让我们验证一下这个结论： 这两者应该是相等的 如果我们同意，一个角的正切 等于其终边的斜率的话 当然这有个前提，该角的另一条边 得是x轴正半轴才行 正如我们在三角函数的单位圆定义中所约定的那样 现在，让我们用正弦与余弦来表示正切 看看是否会得到一样的结论 让我把它写成粉色 正切 噢，这不是粉色 π+θ的正切，它将等于 加个括号以避免歧义 它将等于π+θ的正弦 也就是θ+π的正弦，除以θ+π的余弦 而在上一个视频中，我们已经证明了 θ+π的正弦 就等于负的sinθ 它就等于-sinθ 而θ+π的余弦呢 我们也证明了 它就等于-cosθ 负负相除 两个负号互相抵消 我们得到sinθ除以cosθ 这也的确就等于tanθ 和我们预想的一样 现在再来看其余的这两个点 或者说这两条终边的情况 我们先考虑这个点 -θ的正切应该等于什么？ 我们知道tan(-θ) 也就等于sin(-θ) 除以cos(-θ) 而我们已经证明过sin(-θ) 等于-sinθ 我们可以在此处清楚地看到 sin(-θ) 与sinθ 互为相反数 但cos(-θ) 与cosθ却是相等的， 它们是相等的。 于是我们得到了-sin(θ)除以 cosθ，这也就等于 -tanθ 于是我们看到，改变一个角的符号 相应的也会改变其正切值的符号 这是因为，它的正弦值 正弦定义式中的分子 符号将会改变，但分母不变 所以tan(-θ)就等于 -tan(θ) 最后剩下的这个角又如何呢？ 它也与θ相关 它等于π-θ 所以我们需要考虑π-θ的正切 它也就等于sin(π-θ)除以cos(π-θ) 而我们已经在前一个视频里证明过 sin(π-θ)等于sinθ 我们在这里可以看到 两个角的正弦的确相等 sin(π-θ)等于sinθ 而cos(π-θ)呢 它等于cosθ的相反数 它等于-cosθ 于是这个角的正切 也等于-sinθ/cosθ 也就是-tanθ，这是合理的 这条射线的斜率应该等于 这条射线的斜率 我们可以看到 此处的斜率是-tanθ 实际上，假如我们把这两对射线 分别合并起来 就会得到两条相交的直线 其斜率互为相反数，其本身互为关于x轴的镜像 于是，如我们刚刚所看到的 将一个角增加π 它的正切不会改变 因为它还在同一条直线上 π，在角度制下，就相当于180° 你只是转到了反方向上而已 但射线的斜率并未改变 所以tanθ等于 tan(θ+π) 但假如你把一个角的符号反过来 那它的正切也会反号 又或者，假如你用π 减去你的角的话 你也会得到一个符号相反的正切值 希望以上这些能让你认识到 对称性在三角问题中 起到的重要作用 在试图寻找三角函数的关系时 在试图使用或证明三角恒等式时，也是如此 我们刚才所做的 是证明一些三角恒等式 但其背后的关键 是看到单位圆中的对称关系