正弦和余弦特性：周期性

假设有一个角Θ 角Θ如图所示 按照一般的规则 我作一个单位圆 我们是从在x轴正半轴的射线开始 作出单位圆 和这个角的终边 这个角的终边 与单位圆的交点 决定了sinΘ 和cosΘ 所以cosΘ是X...... X为...... 对不起，我给画笔换个颜色 cosΘ为终边和单位圆的交点X的横坐标 另一种方法如下 cosΘ是我现在作的紫色的这一段的长度 就是这一段长度 这一段长度 等于cosΘ 而sinΘ即是X的纵坐标 或者是说， sinΘ等于这一条线段的长度 也就是X在图上的高度 本质上是X的纵坐标 所以这一段长度等于sinΘ 这很合理 这就说明单位圆定理 是正弦公式、余弦公式和正切公式（Soh Cah Toa定理）的延展 记住口诀，是Soh Cah Toa 我把它写下来 Soh Cah Toa Soh（指sinΘ=a/h）Cah（指cosΘ=b/h）Toa （指tanΘ=a/b） sinΘ等于对边除以斜边 我要求出sinΘ， 而Θ是多少？ 如果我想求出sinΘ， 根据 Soh Cah Toa定理 sinΘ等于...... 对边的长度 其实就是sinΘ sinΘ等于 sinΘ除以斜边的长度 这条就是斜边 而且它是单位圆的半径 所以斜边的长度为1 所以等式成立 我们换个思路 sinΘ等于对边 除以斜边 既然如此，sinΘ就 等于对边除以斜边 斜边呢？ 这是个单位圆 所以斜边等于1 如此一来，sinΘ等于 对边的长度 这条边就是对边 也等于sinΘ，等式成立 同理 cosΘ等于 邻边除以对边 cosΘ等于邻边除以对边 那么...... 因为斜边的长度为1 就是邻边长度 所以cosΘ等于邻边长度，等式成立 以上就算是复习吧 我只是为了向大家证明 单位圆定理是 Soh Cah Toa定理的延展 现在，我出一个有趣的题目 这是∠Θ 我们想想， ∠Θ+π/2 所以∠Θ+π/2...... 我加π/2的目的 是为了得到一个垂直于 原来的终边的射线 π/2 若把它变为度数 π/2...... 我说的∠Θ+π/2 是按弧度制的 π/2弧度 等于90° 所以我是给∠Θ加了90° 变化后的角如图所示 就是这个角 等于Θ+π/2 现在，我要在视频里探究的是， 我猜这是这个视频里最精彩的部分了， 我们能否把 sin（Θ+π/2） 用sinΘ和cosΘ表示 我建议你暂停播放视频， 让后自己开动脑筋想想， 在我讲解之前 让我们想一下， sinΘ+π/2是多少 根据单位圆定理， 这个角的正弦函数 即sin(Θ+π/2) 等于它终边与单位圆的交点的纵坐标 也就是这个点的纵坐标，这边也一样 或者是说 就是这条品红色的线段的长度 它的长度为sin(Θ+π/2) 如图所示 那怎把 它、sinΘ和cosΘ联系上呢？ 我们在看一下图 看上去，这不过是把这个三角形， 只不过是...... 旋转了 我们沿逆时针方向旋转 了这个三角形90° 其实这就是我作的事情的本质 我们把以这条射线为终边的角 加了90° 即π/2 如果你想 让解题过程更严谨些， 这一个白色的角 等于Θ+π/2 在第一象限的这个角 也等于π/2 所以这个角 一定等于Θ 我们再想想 我们怎么求出 这条品红色的线段的长度 和∠Θ的表达式， 根据 Soh Cah Toa定理 对于这个黄色的∠Θ 这条是邻边 我们再想想 如果...... 既然我们知道邻边和斜边，能求什么？ 如此， 这条斜边的长度为1 因为这是个单位圆 余弦函数、邻边和斜边有什么关系吗？ 我们可得 这个Θ的正弦函数 cosΘ 等于邻边的长度除以斜边的长度 我们现在已经知道， 邻边的长度等于 sin(Θ+π/2） 我这么写吧 sin(Θ+π/2） 除以斜边 除以斜边， 即除以1 这不改变它的值 这样就很简洁了 就像这样 我们可以得到 余弦与正弦的 简洁明了的关系 cosΘ 等于sin(Θ+π/2） 或者sin(Θ+π/2) 等于cosΘ 我建议 在你看完视频之后 看看可否找到别的答案 你可以想想， sinΘ等于什么 或者cos(Θ+π/2)和什么有关 我建议你 亲自去探究