特殊角的三角函数值

我们在这画了一个单位圆。 点A为圆心，点B在圆上。 然后我们画一条 从点B到点D的垂直线，点D在x轴正方向上。 这样就形成了三角形ABD，然后我们已知 ∠BAD，坏（BAD）角，大小为Π/4弧度。 在这期视频里，我想做的是，用我们所学的 三角学和三角形知识 来探求一些问题。 首先我们要求解的是 ∠ABD的弧度大小？ 实际上我们先将它求出来吧然后再去 讨论其他需要探求的问题。 我假设你已经暂停了视频 并尝试独立求解过了。 我们一起来求∠ABD的大小。 我们已知这个三角形的其他两个角的度数， 如果你已知一个三角形的其中两个角度， 你就能求出第三个角的度数。 现在可能有一点不熟悉的是，我们通常 会说三角形的内角和 加起来等于180度，但现在 我们要用弧度来计算。 所以我们可以说一个三角形的内角和 加起来，原本我们说是180 度，那180度就等于Π弧度。 所以这个角加上这个角和那个角就应该等于Π。 所以我们可以说，这个角， ∠ABD用弧度来表示的话， 加上Π/4，加上，这是个直角。 那是多少弧度呢？ 直角用弧度来表示，90度 用弧度来表示，就是Π/2。 所以加上Π/2。 当你把它们加起来， 三角形的内角和，加起来就等于Π弧度。 也就是等于180度了。 现在我们就能求∠ABD的大小了。 ∠ABD就等于Π减去 Π/2，减去Π/4。 我只是同时从两边减掉这两项。 所以这里等于，你可以 在这放个公分母，这是 4Π/4，减去2Π/4， 然后这个，就等于，减去Π/4。 那么4减去2减去1就等于1。 所以这里就等于Π/4。 所以∠ABD其实就等于 ∠BAD，也就是Π/4。 所以这个角的大小就是Π/4。 现在了解到这一点对我们有什么帮助呢？ 如果我们已知它等于Π/4 也就是Π/4弧度，我再重复一遍 我们已知这是一个单位圆。 那么我们就知道AB段的长度，也就是 圆的半径或者说该圆的半径 长度为1，那关于这个三角形我们还知道些什么呢？ 我们能否求出AD段 以及DB段的长度呢？ 当然可以，因为这两个底角 大小相等，所以 它们相对应的边长也是相等的。 这就意味着这一边 和那一边是全等的。 我可以将它转换一下这样就能 看得更明白一点。 如果我们将它翻转过来，不是完全翻转 就是大概转动一下变成这样。 这个三角形，我们可以这样转， 像这样。 其实我是想让它看着更像直角的。 我来画一下这个三角形，像这样，好了。 假设这是D，这是B，这是A，这就是那个直角。 那么这是Π/4， 这也是Π/4。 当两个底角相等， 你就知道这是个等腰三角形。 但并不是所有边都相等，所以它不是等边三角形。 如果所有角都相等那就是等边三角形了。 这是一个等腰三角形，不是等边三角形。 所以两个底角相等，那么 它们对应的边也相等。 这两条边相等，这是一个等腰三角形。 了解这一点对我们求解 边长有什么帮助呢？ 假设这条边长度为x， 那这一条边长度也为x。 这条边长度为x，这条边长度也是x。 现在我们可以使用勾股定理。 x^2 + x^2 就等于斜边的平方也就是1^2。 我们也可以写成2x^2 等于1或者说x^2等于1/2 又或者可以将旁边都进行平方根， 就得到x等于1/√2。 很多人不喜欢分母带根号。 他们不喜欢分母有无理数。 所以我们可以通过 乘以√2/√2的方式 将分母有理化，也就是说， 分子就变为√2， 然后分母就等于 √2乘以√2也就是2。 所以我们已经求解出 好几样有趣的小问题了 我们求出了∠ABD的弧度大小。 还有AD段 和BD段的长度。 现在我想做的是求解 sinΠ/4、cosΠ/4以及tanΠ/4， 利用我们现在已知的信息？ 首先我们要思考的是，什么是sin？ 我们用橙色来写。 基于我们现有的已知信息， sinΠ/4是多少？ 我希望你能再一次暂停视频， 想一下单位圆的三角函数定义， 然后思考一下这等于什么。 在这个单位圆里的三角函数定义， 这个Π/4弧度， 是跟x正轴相交形成的。 那这个终点的射线与单位圆相交在哪里呢， 这个点的x、y坐标轴 就代表着cos和sin。 所以这个点的坐标 就等于cosΠ/4，x坐标， sinΠ/4就是 y坐标，sinΠ/4的。 y坐标等于什么呢？ 如果是sinΠ/4？ 就等于这一段的长度，这里。 也就等同于这一段的长度， 也就是x的长度，也就是 √2/2。 那cosΠ/4是多少呢？ 我希望你再暂停一下视频， 然后思考一下。 x坐标是什么？ x坐标，就是这一段距离， 也还是等于x， 也就是√2/2。 现在，tanΠ/4等于多少呢？ tanΠ/4就等于sinΠ/4 除以cosΠ/4。 现在这两者是相等的。 都是√2/2。 所以就得到√2/2 除以√2/2，也就等于1。 这也是说得通的，因为你别忘了 这个角的正切就是这条线的斜率。 通过这个斜线我们可以看到，x 在水平方向上每移动x的距离，就会向上移动x的距离。 因此y根据x的变化就是 x/x，也就是等于1。