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主要内容

周长和面积的关系

用公式和一个例子来学习面积和周长的关系。

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视频字幕

这有一个圆, 假设我们知道它的周长 等于六π,我把它写下来,单位。 无论是什么单位都一样。 让我们来尝试一下, 已知圆周长是6π个单位, 圆面积等于多少? 试着暂停一下视频 看看你能不能自己解出来。 首先,假设你能求出 某个特定圆的面积, 然后让我们看一下是否能够 找到一个万能公式,已知任何圆周长, 然后可求出面积,反之亦然。 好吧那让我们一起来做。 这里的关键是 明白如何从圆周长中求出半径 然后从半径就可以求出面积了。 所以已知原周长是六π, 我们就知道六π等于二π乘以r,即半径。 所以半径是多少呢? 半径,我的意思是这一段距离, 我们可以将两边同时除以二π, 让我们来做一下。 为了求r,两边都除以二π, 那剩下什么呢? 右边剩下一个r, r就等于π除以π, 那就是一。 六除以二是三。 所以,我们求到了半径,在这, 等于三个单位。 然后我们就可以用 πr的平方, 来求面积。 就等于π乘以三的平方。 这里要加括号。 π,乘以三,的平方,就等于 九π。 所以在这个特别的例子里, 当圆周长是六π个单位, 我们就可以求出它的面积, 为九π个平方单位。 或者我可以写成单位的平方。 因为半径也是平方了的。 半径是三各单位, 所以半径平方了之后,得到单位的平方。 现在我们来看是否能写出一条万能公式。 我们已知圆周长等于二πr。 我们也知道面积等于πr的平方。 那我们能不能写出一个表达式或公式 可以把圆周长和圆面积 直接联系在一起呢? 我给你一个提示, 你可以先把r解出来, 然后代回到这个等式里,反之亦然。 暂停一下视频,看一下你能不能做出来。 好吧,让我们一起来做。 先把r解出来。 两边都除以二π, 用另一种颜色写, 所以两边都除以二π, 就是跟这里做的一模一样, 剩下什么呢? 右边剩下, r等于c即圆周长除以二π, 半径等于圆周长除以二π。 现在来做面积这边, 请记住,面积等于π乘以半径的平方。 但我们也已知半径可以写成 圆周长除以二π。 所以我会用圆周长除以二π来表示半径。 请记住,我们想要将圆面积和 圆周长联系起来。 所以这里等于什么呢? 我们知道面积等于π乘以周长的平方 除以二π的平方即四乘以π的平方。 现在看一下,这有π, 如果我们把这个相乘,分子里就会有一个π 分母里也会有一个π, 或者分母里有两个π需要相乘。 所以π除以π的平方, 就等于1除以π,像这样。 面积等于圆周长的平方除以四π。 让我把它写出来。 所以这就是最简式,你不需要学会这个公式, 但我们把它推导出来就已经很棒了。 圆面积等于圆周长的平方除以四π。 然后我们可以反过来。 已知圆面积,如何求圆周长? 你可以直接在这写数字, 或者可以求解c。 把两边都乘以四π。 把两边都乘以四π, 这样做,得到什么呢? 我们得到四把两边都乘以四π乘以面积 等于圆周长的面积 然后把圆周长解出来 两边开平方根。 然后得到四π乘以面积的平方根 等于圆周长。 你可以把它简化。 可以把四从根式里提出来, 但这对于把圆周长和圆面积联系起来,其实已经很简洁了。 但这对于把圆周长和圆面积联系起来,其实已经很简洁了。