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课程: 高中几何 > 单元 9

课程 3: 体积和表面积

体积公式复习

复习棱柱、圆柱体、棱锥、圆锥体和球体的体积公式。

起初似乎有许多体积公式，但这些公式都有一个共同的结构。

棱柱和类似棱柱的几何体

{体积}_{棱柱} = (底面积) \cdot (高)

棱柱的高永远垂直于底部平面，不管它是正的还是倾斜的（斜棱柱）。

长方体

通常，我们首先学习长方体（特别是正长方体）的体积，例如用立方体构建棱柱体。

请注意，长方体的任何面都可以是它的底面，只要我们测量垂直于该面的棱柱的高度就行。

\begin{aligned} {体积}_{长方体} & = ({面积}_{长方形}) \cdot (高) \\ = ((长方形底) (长方形高)) \cdot (棱柱高) \\ = l w h \end{aligned}

三棱柱

三棱柱的底部是三角形。

\begin{aligned} {体积}_{三棱柱} & = ({面积}_{三角形}) \cdot (高) \\ = (\frac{1}{2} (三角形底) (三 角 形 高) \cdot (棱柱高) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

圆柱

圆柱是底面为圆形的棱柱。

\begin{aligned} {体积}_{圆柱} & = ({面积}_{圆}) \cdot (高) \\ = (π \cdot (半径)^{2}) \cdot (高) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

斜棱柱

斜棱柱的底面是平行四边形。

由于卡瓦列里原理，我们仍然用同样的方法计算体积。

哪个表达式正确给出方形方形的体积？

锥体和锥状体

{体积}_{椎体} = \frac{1}{3} (底面积) \cdot (高)

我们同样通过垂直于其底部平面的高度来测量椎体的高。由于卡瓦列里的原理，同样的体积公式适用于椎体和其他斜锥状体。

长方锥

长方锥的底部是长方形。

\begin{aligned} {体积}_{长方锥} & = \frac{1}{3} ({面积}_{长方形}) \cdot (高) \\ = \frac{1}{3} ((长方形底) (长方形高)) \cdot (锥体高) \\ = \frac{1}{3} l w h \end{aligned}

圆锥

圆柱是底面为圆形的椎体。

\begin{aligned} {体积}_{圆锥} & = \frac{1}{3} ({面积}_{圆}) \cdot (高) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (半径)^{2}) \cdot (高) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

球体

{体积}_{球体} = \frac{4}{3} π (半径)^{3}

很高兴你这么问！假设我们有一个半径为

r

的球体。让我们取垂直于球体垂直直径的横截面。

根据勾股定理，在距离中心

y

个单位的球体横截面的半径

x

为：

x = \sqrt{r^{2} - y^{2}}

所以在那个高度的球体横截面积是：

\begin{aligned} {面积}_{横截圆} & = π \cdot x^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

还有另一个图形在每个高度都有相同的横截面积：一个半径为

r

，高度为

2 r

的，去掉了两个圆锥的正圆柱。每个圆锥体的半径为

r

，高度为

r

。

圆柱在任何高度的半径都是

r

。根据相似性，每个圆锥体在距顶点

y

个单位处的横截面半径为

y

。

所以这个合成图形在那个高度的横截面积是：

\begin{aligned} {面积}_{环形横截面} & = π \cdot r^{2} - π \cdot y^{2} \\ = π (r^{2} - y^{2}) \end{aligned}

根据卡瓦列里的原理，由于球体和合成图形在距离图形中心

y

处的横截面积相等，所以这些图形的体积也相同。

\begin{aligned} {体积}_{合成图形} \\ = {体积}_{圆柱} - 2 \cdot {体积}_{圆柱} \\ = [π \cdot (半径)^{2} \cdot (圆柱高)] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot (半径)^{2} \cdot (圆锥高)] \\ = [π \cdot r^{2} \cdot 2 r] - 2 \cdot [\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot r] \\ = 2 π r^{3} - \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4}{3} π r^{3} \end{aligned}

合成图形的体积是

\frac{4}{3} π r^{3}

，按照卡瓦列里的原则，球体的体积也是

\frac{4}{3} π r^{3}

。

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