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其他勾股定理证明

使用图形证明勾股定理. Sal Khan 创建

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视频字幕

如果你还没留意到的话, 我已经痴迷于 各种验证勾股定理的方法 很久了。 我们再来做一个吧。 就跟其他的验证方法的开头是一样的, 首先要构建一个直角三角形。 那我就要来画了这是底边 在这下面。 这是直角三角形的底边。 我想要尽量画大一点, 这样可操作的空间就更多了。 那么这是底边。 然后假设这是长边 而不是底边。 我们可以画成两边一样长。 但我这样画的话这就是长边了。 我们标记这条边长度为a。 然后再画这里这一条边。 它必须是一个直角三角形。 所以大概是在这。 这条边长度为b。 我把边长a稍微延长一点。 这样看着就是一个直角三角形了。 这就是90度角。 首先我要做的是 将这个三角形 逆时针旋转90度。 那么逆时针旋转90度, 就是字面意思这么旋转 然后再画一个完全全等的版本。 那么我就将它旋转90度。 这样的话,底边 就会竖直向上了。 我会根据我的肉眼观察 尽量画得一模一样的。 这条边a就会变成这样。 就会跟这一条边平行了。 看我画得怎么样。 这就是边长a。 我们可以注意到,这应该是90度的。 每一条对应边的旋转 都应该是90度的。 这是90度。 这是90度。 现在我要画边长b了。 大概就是这样的 这就是边长b。 直角就在这里了。 所以我仅仅是将它逆时针旋转了90度。 现在,我想做的事,构建一个平行四边形。 我要构建一个平行四边形—— 我来标记一下。 这是高为c。 我用白色来写。 这是它的高c。 现在,我想做的是从这个点开始 往上走c的距离。 现在,这也等于高c了。 那这一段长度是多少呢? 从这个点到这个点的长度 是多少呢? 有一个小提示,这是一个平行四边形。 这条线 跟这条线是平行的。 它们之间的距离也是恒定不变的。 因为这段距离 在x方向上或者说在水平方向 还有竖直方向上是不变的,这两段长度是相等的。 所以这就等于长度a。 现在,我想向你提出的第二个问题是, 我构建的这个平行四边形 面积是多少? 那么,要求解这个问题,我们要将这个图像重新画一下 这样平行四边形就可以平放了。 这是边长a。 这是边长c。 这是边长c。 如果你看这一部分, 就有提示了。 我用绿色来画。 平行四边形的高已经给出来了。 这条边垂直于这条边。 所以这个平行四边形的高也是a。 所以面积是多少? 平行四边形的面积 就等于底乘以高。 所以这个平行四边形的面积 就等于a的平方。 现在,同样地。 我们将原本的这个直角三角形进行旋转。 但是是朝另一个方向旋转。 顺时针旋转90度。 这一次,不用这个作为中心点了, 我们以这里作为中心点。 那旋转之后会怎样呢? 这条边是c,如果旋转后 就到了这里。 我会尽量画得贴近原图的。 所以这就是边长c。 现在,这条边长b 就会在这里,看上去像这样。 跟这条边平行。 这就是直角了。 所以我就这么画吧。 看起来不错嘛。 然后边长a就在这里了。 这就是a。 这是b。 我想用蓝色来画b。 我用蓝色来画b。 然后这个直角在旋转之后 就到了这。 现在,我们来做同样的练习。 在这里构建一个平行四边形。 那么这是高c。 这也是高c。 所以同理,如果这条边长是b, 这条边长也是b。 这些都是平行线。 在水平方向上移动相同的距离。 在竖直方向上移动相同的距离。 已知这一点是因为它们都是平行的。 所以这是边长b。 这是边长b。 现在,这一个平行四边形的面积是多少呢? 这一个平行四边形的面积会是多少呢? 为了让我们能更直观地观察, 我们将它打横放下来。 这是这条边。 然后是另一条边。 长度都为b。 然后另一条边长为c。 那么这是c。 这是c。 高是多少呢? 你看这里。 高也是边长b。 已经给出来了。 我们已知这是90度。 因为我们将它旋转了90度。 才构建出这个形状的。 所以在此基础上,这个平行四边形的面积 就是底乘以高。 这个平行四边形的面积就是b的平方。 现在,就非常有意思了。 我要做的就是复制黏贴 这一部分,因为这是,在我看来, 这是图像里最有意思的部分了。 看看我能不能很好地框选出来。 我要框选出这一部分。 我要复制。 然后往下拖。 然后黏贴。 所以我们构建的这个图形, 很清楚能看出它的面积,是一个组合图形, 我来擦掉边边角角。 我用黑色来擦就能擦干净了。 我来擦一下, 这就是我们想要关注的部分了。 把这边和那边擦掉, 还要擦掉这里。 实际上,我把下面这部分也擦掉吧, 虽然我们已知这个边长为c。 实际上,我在这里画一下吧。 这是从原图来的。 我们已知这是边长c。 我们已知这个高是c。 我们知道下面这条也是c。 但我要向你提出的问题是, 这个组合图形的面积是多少? 其实就是a的平方加上b的平方。 我来写下来。 这个面积就是a的平方加上b的平方。 就是这两个平行四边形的面积。 现在,要怎么挪动这个图形的某些部分 使得它可以用c来表示呢? 在我画这条线的时候 估计你已经想到了。 我要用白色来画。 我们已知这部分是边长c。 这是我们构建的原图。 哎呀。 图像没了。 这是边长c。 这是边长c。 然后这里也是边长c。 我们可以做的是取上面这个直角三角形, 它跟我们原本的直角三角形是全等的, 然后平移到下面来。 要记住,这一整个面积,包括顶上的 这个三角形,是等于a的平方加b的平方。 但我们没有包括下面这部分的面积, 也就是原来的三角形。 但在我们平移之后会怎样呢? 我来剪切一下。 然后黏贴。 我只是将这个三角形平移到了底下。 那么现在,就会像这样。 我只是将这个面积为a平方加b平方的图像挪动了一下。 所以这一整个正方的面积还是 等于a的平方加b的平方。 a的平方就是这里这部分。 之前它是一个平行四边形。 我只是将平行四边形顶上的部分平移了下来。 b的平方就是这一部分。 那用c应该如何表示呢? 我们已知这一整个面积就等于是c乘以c的正方形。 所以这个面积用c来表示就是c的平方。 所以a的平方加b的平方就等于c的平方。 这样我们又一次,证明了勾股定理。