距离公式

在这个视频里，我们会学习如何 求在xy平面里的任意两点之间的距离 然后我们会发现这就是一个 勾股定理的应用 我们先从一个例题开始 假设我有一个点，我会用一个深点的颜色 这样好看清楚 假设我有点（3，-4） 假如我要画出来，我会走1,2,3 然后向下走4 1,2,3,4这里，这是（3，-4） 然后我还有一个点（6,0） 所以1,2,3,4,5,6然后在y方向 不动 我们就在x轴上 y坐标时0，这是（6,0） 之后我要求这两个点之间的 距离 蓝点和橙点之间的距离是多少呢 一开始你可能想说，Sal，我之前 没见过怎么求这样 的距离 然后这跟勾股定理有什么关系吗？ 我都没看见有三角形 如果你还没看出三角形 让我给你画一下 让我给你画这个三角形 然后我用不同的颜色 来直击主题 这是我们的三角形 然后你可能立刻认出了 这是一个直角三角形 这是一个直角 底边从左到右，然后右边 从上到下，所以我们有一个 然后假如我们能找到底边和高 的长度的话，我们可以用勾股定理 来求长边的长度，也就是直角的 对边，或者说斜边的长度 我们要的距离就是这个直角 三角形的斜边 让我写下来 距离等于这个直角三角形 的斜边 让我画一个大点的 这是斜边 然后右边，这条边是直着 从上到下的 然后我们有底边 现在我们来求 距离d 也就是斜边的长度 我们怎么求这条从上到下的边 和底边的长度呢？ 我们先看看底边，这长度是多少呢？ 你可以直接在图上面数 但是这里x等于……让我用绿色 这里x等于3，然后这里x等于 6对吧？ 我们是直接往右走的 这和这个的长度一样的 所以距离其实就是 x坐标的距离 你其实可以用任何一个方向，因为 你会用到平方，所以负数 无所谓，那这里的距离是 6减3对吧 6减3 这是这个距离，等于3 我们求了底边 再提醒一下，这个等于 x的变化量 这个等于结尾x减去 开始x 6减3 这是德尔塔x 现在，用同样的逻辑，这里的高 就等于y的变化量 这里，y等于0 这可以看作是终点 这是比较高的y点 然后这里是y等于负4 所以y的变化是0减去负4 我用大的y值减去小的y值 大的x值减去小的x值 但是等一下我们要求平方 所以就算你反着来，你会得到一个 负数，但是最后答案是一样的 所以这等于4 这条边等于4 你可以直接在坐标上数 然后这条边等于3 现在我们要用勾股定理了 这个距离的平方 注意了 距离的平方等于德尔塔x 的平方，x的变化量的平方加上 y的变化量的平方 没有什么神奇的 有时候人们管这个叫距离公式 其实就是勾股定理 这条边平方加上这条边平方 等于斜边平方，因为这是一个直角三角形 所以我们代入这些我们已有的 数字 所以距离平方等于德尔塔x平方 也就是3的平方加上德尔塔y的平方，也就是 4的平方，等于9加16，等于25 所以距离等于……让我写成d的平方 等于25 我们的距离d……这里不用管负的 平方根，因为我们不能有负的距离 所以只用管算术平方根，或者说25 正的平方根，等于5 所以这个距离等于5 或者回到原来的 问题里 这个点和这个点距离是多少？ 它们距离是5 所以你可以看见，他们叫这个距离公式 但其实就是勾股定理 为了让你能全面地了解，有时候你会看见 距离公式，别人会说，假如 我有两个点，一个点是 x1和y1 然后另一个点是x2,y2 有时候你会看见这么一个不同形式的公式 它们的距离 它们的距离…… 看上去是一个很复杂的公式 但是我希望你能看出 这就是勾股定理 你会看见距离等于x2减x1 的平方加上y2减y1的平方 在很多教科书里你都会看到这个 距离公式 但不需要浪费时间来背这个 因为这就是勾股定理 这是x的变化量 你可以选任意一个x当第一个或 第二个，因为就算这是负数 当你求平方的时候，负号就消失了 这里是y的变化量 这个公式说的其实就是距离的平方……记住 当你在两边都求平方的时候，根号就 消失了，然后就变成了距离的平方 等于这个表达式的平方，德尔塔x平方 x的变化量……德尔塔表示变化……德尔塔x平方 加德尔塔y平方 没有要困惑你的意思 德尔塔y表示y的变化量 我应该早点说的 但是我们再用它几次，让我随便 选几个点 假如说我又点 （-6,-4） 然后我想求它和 点(1,7)之间的距离 我要求这个距离 方法是一样的 我们用勾股定理 你求这个距离，也就是x的变化量 然后这个距离是y的变化量 这个距离平方加这个距离平方 等于这个距离平方 我们一起来 所以x的变化量 你可以随便选 通常是用大的x值减小的 x值，但任意方向都行 我们可以写距离的平方等于 x的变化量是多少？ 我们用大x减小x，1减去 负6 1减负6的平方加上y的变化量 比较大的y在这 是7 7减负4 7减负4的平方 我是随机选的数字，所以估计 结果不是很好看 我们得到距离的平方等于1减 负6 等于7的平方，你也可以在这边 数一下 1,2,3,4,5,6,7 就是这个数 这是x的变化量 加上7减负4 等于11 这是这个距离，你也可以数 格子 我们往上走了11格 我们用了7减负4得到 距离11 所以加11平方等于d的平方 那我把计算器拿出来 7平方加11平方等于 170，这个距离等于它的平方根 对吧？d平方等于170 所以我们求它的平方，得到了 大约13.04 所以这个距离 是13.04 希望这对你有帮助