练习改变乘法题中因数的组合并了解乘积被如何影响.

先把前两个数相乘

如图所示,这个排列有3\tealD {3}行,每行有 2\goldD{2} 个小圆点. 我们可以用表达式 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} 去表示这个排列.
下图表示4\purpleD{4}份相同的 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} 的排列.
我们可以用表达式 (3×2)×4(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}去表示这个排列.
进行数数, 我们可以得到总数 2424.

先把后两个数相乘

改变括号的位置,先把后两个数相乘,会得到相同的结果吗?
改变括号位置使 2\goldD{2}4\purpleD{4}先相乘: 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4}).
我们可以画出表示这个表达式的排列.从每行有4\purpleD{4}个小圆点的 2\goldD{2} 行点开始. 这个排列表示 2×4\goldD{2} \times\purpleD{4}.
3\tealD {3} 份同样的排列表示 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4}).
进行数数, 我们可以得到总数 2424.
先把后两个数相乘不会改变运算结果!
(3×2)×4=3×(2×4)(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4} = \tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})

乘法结合律

三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变,叫做乘法结合律.
现在我们用下面这道例题理解乘法结合律.
5×4×25 \times 4 \times 2
先把 5\blueD {5}4\blueD {4}相乘. 我们可以一步步算出结果.
=(5×4)×2\phantom{=}(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=20×2= \blueD{20} \times 2
=40= 40
现在,先把 4\purpleD {4}2\purpleD {2} 相乘.
=5×(4×2)\phantom{=}5 \times (\purpleD{4 \times 2})
=5×8=5 \times \purpleD{8}
=40=40
我们可以得到相同的结果.
这三个表达式算出的结果是相等的:
=5×4×2\phantom{=}5 \times 4 \times 2
=(5×4)×2=(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=5×(4×2)=5 \times (\purpleD{4 \times 2})

练习

下面我们用两种方式计算同一个表达式.
先把后两个数字相乘,计算同一个表达式.
(3×2)×5=30(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30
3×(2×5)=303 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30
用两种方式计算,我们得到相同的结果.

等价表达式

我们可以通过乘法分配率找到等价的表达式.
从表达式 2×2×52 \times 2 \times 5开始.
我们可以找到和表达式 2×2×52 \times 2 \times 5等价的两种表达式:
(2×2)×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5
2×(2×5)2 \times (\goldD{2 \times 5})
一步步计算每个表达式,我们又可以找到其他等价的表达式.
(2×2)×5=4×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5 = \blueD{4} \times 5
2×(2×5)=2×102 \times (\goldD{2 \times 5}) = 2 \times \goldD{10}
所以我们最初的表达式, 2×2×52 \times 2 \times 5, 也等于 4×54 \times 52×102 \times 10.

乘法结合率的用处是什么?

乘法结合律能把解决乘法问题变得更容易.
现在我们看到表达式, 4×4×54 \times 4 \times 5.
我们可以用两种方式计算:
(4×4)×5(4 \times 4) \times 5
4×(4×5)4 \times (4 \times 5)
如果一步步计算第一个表达式,可以得到: (4×4)×5=16×5(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5
如果一步步计算第二个表达式,可以得到: 4×(4×5)=4×204 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}
计算 4×204 \times 20 会比计算 16×516 \times 5更加简单.
虽然我们用不同方式计算, 但是计算的结果相同.
4×20=804 \times 20 = 80
16×5=8016 \times 5 = 80

练习