如果你看到这则信息,这表示下载可汗学院的外部资源时遇到困难.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

主要内容

参数方程的微分

小萨找出被以下的两个参数方程定义的函数的导数:x=sin(1+3t) 和 y=2t³, 然后求它在 t=-⅓时的值.

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

我们手头有一个参数方程, x被t所定义, y也被t所定义, 如果遍历所有的t值, 你将得到一幅很酷的图象,它长这样。 你先令t等于0,得到相应的x与y, 再令t等于1,得到相应的x与y, 依此类推, 把得到的点连成这幅很酷的图象。 但这个视频的目的并不只是 欣赏这幅由参数方程定义的 图象或曲线有多酷。 我们实际上是想做点微积分, 更具体地,我们想求导数, 我们想求y相对于x的导数, y相对于x的导数, 当t, 当t等于 -1/3时。 如果你有兴趣的话, 不妨暂停视频自己尝试一下。 等下我会和你一起解这个问题, 假如你已经做完了,或是希望我帮你做(笑)。 好了,这个问题的关键在于, 在x和y都被t所定义的情况下, 如何求y相对于x的导数。 如何求y相对于x的导数。 我们需要意识到, y相对于x的导数, 也就等于,也就等于, y相对于t的导数, 除以x相对于t的导数。 假如你把这些微分看作是数, 这个等式在数学上就是成立的。 这种理解方式 实际上不大严谨, 但它能让你相对容易地 理解这个式子何以成立。 y相对于x的导数, 等于y相对于t的导数, 除以x相对于t的导数。 好了,这结论对我们有什么用呢? 嗯,我们可以分别求出 x相对于t的导数, 以及y相对于t的导数。 x相对于t的导数, 也就等于, 这个式子外部 相对于其内部的导数, 也就等于2倍的cosine, 2cos(1 +3t), 乘以其内部相对于t的导数。 也就是,1的导数等于0, 3t相对于t的导数等于3。 再乘以3,这就是x相对于t的导数。 我只是使用了一下链式法则。 外部的2sin 相对于其内部的导数, 也就是2sin 相对于1 + 3t的导数, 是这一部分。 而其内部相对于t的导数, 也就是这里的3。 然后是y相对于t的导数, 这比较容易。 求y相对于t的导数, 只要使用幂函数求导法则就行, 3乘以2等于6,t的3减1次方, 6倍t方。 所以它等于6倍t方, 6t^2,除以, 把这里的3和2乘起来, 得到6倍的 cos(1 + 3t)。 分式上下的6互相抵消, 剩下t方 除以cos(1 + 3t)。 假如我们关心的是t等于-1/3时的情况, 当t等于-1/3时, 这个式子就等于, 这个式子就等于,-1/3的平方。 -1/3的平方, 除以, 除以, 除以 1加上3倍-1/3的余弦。 3倍的-1/3等于-1。 1加-1等于0,0的余弦 0的余弦也就等于1。 于是最终得到正的 正九分之一。 现在我们试着理解一下这个结论的几何意义。 让我在这里画一张表。 我们将会关心 t、x、y。 t、x、y。 当t等于-1/3时, 我们的x也就等于,也就等于 此处是sin(0),所以x等于0。 而我们的y将会等于,2除以 或者说,-2/27。 所以我们关心的点是 (0, -2/27)。 这个点在图上的这个位置。 它就是我们试图求出其切线斜率的 那一个点。 我们的结论告诉我们此处的斜率为1/9。 斜率为1/9。 一种理解方式是,如果我们 向右走1、2、3、4、4.5, 我们将相应向上走1/2。 所以,此处的切线, 应该长这样子, 长这样子, 长这样子, 长这样子。 让我往左边也走1、2、3、4、4.5, 到这里, 看上去很接近了。 这就是我们的结论。 我们的结论是该点处切线 的斜率等于1/9。 所以这图象不只是看上去很酷, 而且也有些用处。