参数方程的微分

我们手头有一个参数方程， x被t所定义， y也被t所定义， 如果遍历所有的t值， 你将得到一幅很酷的图象，它长这样。 你先令t等于0，得到相应的x与y， 再令t等于1，得到相应的x与y， 依此类推， 把得到的点连成这幅很酷的图象。 但这个视频的目的并不只是 欣赏这幅由参数方程定义的 图象或曲线有多酷。 我们实际上是想做点微积分， 更具体地，我们想求导数， 我们想求y相对于x的导数， y相对于x的导数， 当t， 当t等于 -1/3时。 如果你有兴趣的话， 不妨暂停视频自己尝试一下。 等下我会和你一起解这个问题， 假如你已经做完了，或是希望我帮你做（笑）。 好了，这个问题的关键在于， 在x和y都被t所定义的情况下， 如何求y相对于x的导数。 如何求y相对于x的导数。 我们需要意识到， y相对于x的导数， 也就等于，也就等于， y相对于t的导数， 除以x相对于t的导数。 假如你把这些微分看作是数， 这个等式在数学上就是成立的。 这种理解方式 实际上不大严谨， 但它能让你相对容易地 理解这个式子何以成立。 y相对于x的导数， 等于y相对于t的导数， 除以x相对于t的导数。 好了，这结论对我们有什么用呢？ 嗯，我们可以分别求出 x相对于t的导数， 以及y相对于t的导数。 x相对于t的导数， 也就等于， 这个式子外部 相对于其内部的导数， 也就等于2倍的cosine， 2cos(1 +3t)， 乘以其内部相对于t的导数。 也就是，1的导数等于0， 3t相对于t的导数等于3。 再乘以3，这就是x相对于t的导数。 我只是使用了一下链式法则。 外部的2sin 相对于其内部的导数， 也就是2sin 相对于1 + 3t的导数， 是这一部分。 而其内部相对于t的导数， 也就是这里的3。 然后是y相对于t的导数， 这比较容易。 求y相对于t的导数， 只要使用幂函数求导法则就行， 3乘以2等于6，t的3减1次方， 6倍t方。 所以它等于6倍t方， 6t^2，除以， 把这里的3和2乘起来， 得到6倍的 cos(1 + 3t)。 分式上下的6互相抵消， 剩下t方 除以cos(1 + 3t)。 假如我们关心的是t等于-1/3时的情况， 当t等于-1/3时， 这个式子就等于， 这个式子就等于，-1/3的平方。 -1/3的平方， 除以， 除以， 除以 1加上3倍-1/3的余弦。 3倍的-1/3等于-1。 1加-1等于0，0的余弦 0的余弦也就等于1。 于是最终得到正的 正九分之一。 现在我们试着理解一下这个结论的几何意义。 让我在这里画一张表。 我们将会关心 t、x、y。 t、x、y。 当t等于-1/3时， 我们的x也就等于，也就等于 此处是sin(0)，所以x等于0。 而我们的y将会等于，2除以 或者说，-2/27。 所以我们关心的点是 (0, -2/27)。 这个点在图上的这个位置。 它就是我们试图求出其切线斜率的 那一个点。 我们的结论告诉我们此处的斜率为1/9。 斜率为1/9。 一种理解方式是，如果我们 向右走1、2、3、4、4.5， 我们将相应向上走1/2。 所以，此处的切线， 应该长这样子， 长这样子， 长这样子， 长这样子。 让我往左边也走1、2、3、4、4.5， 到这里， 看上去很接近了。 这就是我们的结论。 我们的结论是该点处切线 的斜率等于1/9。 所以这图象不只是看上去很酷， 而且也有些用处。