平面运动的例子：加速度向量

【讲师】一个粒子在 xy 平面上移动 使得任何 时间t ≥ 0 时，位置向量为这个表达式 使得任何 时间t ≥ 0 时，位置向量为这个表达式 这里给了位置向量的 x 分量和 y 分量，都用时间 t 的函数表示 这里给了位置向量的 x 分量和 y 分量，都用时间 t 的函数表示 求：当 t = 3 时，粒子的加速度矢量是多少？ 求：当 t = 3 时，粒子的加速度矢量是多少？ 好，那我们来写位置表达式，它是一个向量值函数 好，那我们来写位置表达式，它是一个向量值函数 是关于 时间 t 的函数，是一个矢量 是关于 时间 t 的函数，是一个矢量 而且题目给了位置向量，x 分量是 -3t³+4t²，y 分量是 t³+2 而且题目给了位置向量，x 分量是 -3t³+4t²，y 分量是 t³+2 而且题目给了位置向量，x 分量是 -3t³+4t²，y 分量是 t³+2 而且题目给了位置向量，x 分量是 -3t³+4t²，y 分量是 t³+2 r (t) = (-3t³+4t², t³+2) 在任何 ≥0 的时间 t 点 r (t) = (-3t³+4t², t³+2) 在任何 ≥0 的时间 t 点 代入任意 t，都可以给出相应的 x和 y分量 代入任意 t，都可以给出相应的 x和 y分量 这是向量的一种表示法 另一种工程表示法你可能很熟 另一种工程表示法你可能很熟 有时会写成单位向量表示法 有时会写成单位向量表示法 = (-3t³+4t²) 乘以水平单位向量 i + (t³+2) 乘以竖直单位向量 j + (t³+2) 乘以竖直单位向量 j r (t) = (-3t³+4t²) i + (t³+2) j 和刚才的一样 这是 x 分量，这是 y 分量 这是水平方向分量 这是竖直方向分量 也就是 y 分量 现在的关键是 如果你有位置矢量 速度矢量就是它的导数 所以 v (t) 就是 r(t) 的导数 v(t) = r '(t) 接下来就是对应 x 分量和 y 分量的求导了 接下来就是对应 x 分量和 y 分量的求导了 咱们来求解 如果我们想求 x 分量关于时间 t 的导数 如果我们想求 x 分量关于时间 t 的导数 就要经常用到 幂法则 3次方的3乘以 -3 得 -9 乘以 t² 2次方的2 乘以 4 得 8 乘以 t v(t) = r '(t) = ( -9t² + 8t , ) 然后再对 y 分量求导 t³ 关于 t 求导 得 3 t² 得 3 t² 2 求导 得0 够地方了，我写大点 v(t) = r '(t) = ( -9t² + 8t , 3t² ) 如果我们想找出加速度函数 向量值函数 a(t) 关于 t 的加速度函数 a(t) 就等于对 v(t) 求导 a(t) = v '(t) ，关于时间 t 求导 a(t) = v '(t) ，关于时间 t 求导 a(t) = v '(t) = 我留好位置写 还是先对 x 分量求导 还是先对 x 分量求导 我找个还没用过的颜色 就用这个绿色吧 2次方的2 乘以 -9 得 -18，乘以 t 加上 8 8t 求导 得 8 是关于 t 求导 是关于 t 求导 然后这里用橙色 对 3t² 求导 各种求导 2 乘以 3 得 6，乘以 t 所以我们就通过对 位置向量函数，求导两次 所以我们就通过对 位置向量函数，求导两次 所以我们就通过对 位置向量函数，求导两次 求得了加速度函数 现在只需要计算 t = 3 的值 所以 t=3, 就是求 a (3) 这里用绿色 a (3) = ( -18•3 + 8 , ) 用逗号分开 再带入这里，6•3 化简得多少？ a (3) = ( , ) -18 乘以 3 得 -54，加8 得 -46 a (3) = ( -46, 18) 我算对了吧？ 写一下， -54 + 8 -54 + 4 得 -50 -50 + 4 = -46 没错，就是这样了 ( -46, 18) 这就是 t =3 时 的加速度向量 这就是 t =3 时 的加速度向量