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二阶导数(矢量函数)

塞尔求出了以下矢量函数的一阶和二阶导数:h(t)=(-t⁵-6,4t⁴+2t+1)。

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视频字幕

这里有一个向量值函数h, 当我说向量值, 意思是你给我一个t,它是t的函数, 当你给我一个t, 我不是给你一个值, 我会给你一个向量。 而且我们会看到, 你会得到一个二维向量。 你可以把这看作向量的x分量 而这个是向量的y分量。 现在你可能已经比较清楚了, 即使是一个二维向量,它也会有不同的表达方式。 例如,你可以使用 这里的工程表达法。 这里x分量乘以 水平单位向量。 比如说这样的, 这是单位向量,加上y分量。 4t^4+2t+1, 乘以竖直方向的单位向量。 所以这两个代表了同一个东西, 只是不同的表达法。 有时你会看到一个向量值函数上 有一个箭头,这清晰地表明了 这是一个向量值函数。 有时候你会听到有人说, h定义为一个向量值函数 但是他们不会在h上放一个箭头。 那么有了这个向量值函数, 我们感兴趣的是, 如何求出h相对于t的一阶和二阶导数。 让我们首先求一阶导数, h’(t),你会看到, 这其实相当简单。 只需要对相应的分量 求出其相对于t的导数。 对x分量,如果你相对于t求导, 结果是什么? 这里我们需要用到幂法则 5乘以-1, 你会到-5,乘以5-1次幂, 即t^4。 -6相对于t的导数 等于0, 所以这是x分量相对于t的变化率。 现在我们来看y分量。 同理, y相对于t的导数, 就等于, 我们用幂法则, 4乘以4得16,乘以t的3次幂。 2t的导数是2, 而常数的导数, 我们已经知道是0。 这就是h的一阶导数。 这是x分量相对于t的变化率, 这是y分量相对于t的变化率。 可以这么看, 我们知道向量可以代表很多不同的东西。 但是这样的二维向量, 你可以想象 h(t)是二维的位置向量。 如果你想想这个位置相对于时间的变化率, 这就是速度向量。 而如果我们继续对它 相对于时间求导, 我们会得到加速度向量。 如果我们称之为h’’(t), 那么h’’(t)等于什么呢? 我们只需要再次应用幂法则。 即4乘以-5得-20, 乘以t的4-1,即t的3次幂。 然后是3乘以16得48t^2, 2的导数是0。 这就是结果, 如果你把t看作时间, 在任何时刻,如果你把这个看作位置, 这就是速度,而这就是加速度。 你会得到位置,速度,和加速度。 重要的是要记住:这些向量可以代表二维的任何东西。