拐点复习

拐点（或拐弯的点）是函数的图形改变凹凸性的点（从$\cup$\cup到$\cap$\cap，反之亦然）。

发现拐点的方式类似于我们找到极值点。然而，我们不是在寻找改变导数符号的点，而是在寻找改变二阶导数符号的点。

例如，让我们找到$f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared的拐点。

$f$f的二阶导数是$f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis。

当$x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1，$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0，且它在任何位置都有定义。 $x=-2$x, equals, minus, 2和$x= 1$x, equals, 1将数轴划分为三个区间：

让我们评估每区间的$f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript，以查看它在该区间是正数还是负数。

我们可以看到$f$f在$x=-2$x, equals, minus, 2和$x=1$x, equals, 1改变了图像凹凸性，所以$f$f的拐点就是这两个$x$x-值。