拐点复习

回顾一下你对拐点的认识, 以及我们如何使用微分方法来找到它们。

什么是拐点？

拐点（或拐弯的点）是函数的图形改变凹凸性的点（从

\cup

到

\cap

，反之亦然）。

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问题1.1

$f$ ‍的图像有多少个拐点？

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发现拐点的方式类似于我们找到极值点。然而，我们不是在寻找改变导数符号的点，而是在寻找改变二阶导数符号的点。

例如，让我们找到

f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

的拐点。

f

的二阶导数是

f^{″} (x) = 6 (x - 1) (x + 2)

。

当

x = - 2, 1

，

f^{″} (x) = 0

，且它在任何位置都有定义。

x = - 2

和

x = 1

将数轴划分为三个区间：

让我们评估每区间的

f^{″}

，以查看它在该区间是正数还是负数。

区间	$x$ ‍-值	$f^{″} (x)$ ‍	判定
$x < - 2$ ‍	$x = - 3$ ‍	$f^{″} (- 3) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍上凹 $\cup$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{″} (0) = - 12 < 0$ ‍	$f$ ‍下凹 $\cap$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{″} (2) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍上凹 $\cup$ ‍

我们可以看到

f

在

x = - 2

和

x = 1

改变了图像凹凸性，所以

f

的拐点就是这两个

x

-值。

问题2.1

g (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2}

$x$ ‍ 为何值时函数图像 $g$ ‍ 存在拐点？

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