主要内容
分析二阶导求拐点
了解如何使用函数的二阶导求函数的拐点。了解在此过程中要避免的常见错误。
我们可以通过分析函数的二阶导数来寻找其的拐点。
示例:求函数 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript 的拐点
步骤 1: 求二阶导数
要找 f 的拐点,我们需要利用 f, start superscript, prime, prime, end superscript:
步骤 2: 找到所有后选项
与关键点类似,这些是当 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 或 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 未定义时的点。
f, start superscript, prime, prime, end superscript 在 x, equals, 0 与 x, equals, minus, 1时为0,并且其是由所有实数定义。所以 x, equals, 0 与 x, equals, minus, 1 是我们的候选。
步骤 3:分析凹凸性
间隔 | 测试 x-值 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | 结论 |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 1 | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f 下凹 \cap |
minus, 1, is less than, x, is less than, 0 | x, equals, minus, 0, point, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 2, point, 5, is greater than, 0 | f 上凹 \cup |
x, is greater than, 0 | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f 上凹 \cup |
步骤 4:求拐点
现在我们知道f在间隔内的上凹或下凹情况,就可以找到拐点。(举例说明,凹凸性变化方向)。
- f 在 x, equals, minus, 1之前下凹,之后变为上凹,并且在 x, equals, minus, 1时有定义。所以 f 在x, equals, minus, 1时有拐点。
- f 在x, equals, 0之前以及之后上凹,所以不存在拐点。
我们可以通过查看f的图形来验证结果。
常见错误:没有检查候选项
记住: 我们千万不能假设任何 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0时(或 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 未定义)的点为拐点。相反,我们需要检查所有候选项并观察二阶导数是否在这些点变化了符号,以及函数是否有定义。
常见错误:没有包含导数未定义时的点
记住: 拐点的候选项是二阶导数等于0 以及 二阶导数未定义的点。忽略了二阶导数未定义的点,答案也就不正确了。
常见错误:求一阶导出而没有求二阶导数
记住:当求拐点的时候,我们必须分析二阶导数的符号变化。 求一阶导数我们会获得相对极值,而不是拐点。
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