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主要内容

分析二阶导求拐点

了解如何使用函数的二阶导求函数的拐点。了解在此过程中要避免的常见错误。
我们可以通过分析函数的二阶导数来寻找其的拐点。

示例:求函数 f(x)=x5+53x4 的拐点

步骤 1: 求二阶导数
要找 f 的拐点,我们需要利用 f
f(x)=5x4+203x3f(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
步骤 2: 找到所有后选项
与关键点类似,这些是当 f(x)=0f(x) 未定义时的点。
fx=0x=1时为0,并且其是由所有实数定义。所以 x=0x=1 是我们的候选。
步骤 3:分析凹凸性
间隔测试 x-值f(x)结论
x<1x=2f(2)=80<0f 下凹
1<x<0x=0.5f(0.5)=2.5>0f 上凹
x>0x=1f(1)=40>0f 上凹
步骤 4:求拐点
现在我们知道f在间隔内的上凹或下凹情况,就可以找到拐点。(举例说明,凹凸性变化方向)。
  • fx=1之前下凹,之后变为上凹,并且在 x=1时有定义。所以 fx=1时有拐点。
  • fx=0之前以及之后上凹,所以不存在拐点。
我们可以通过查看f的图形来验证结果。
函数f已被绘制。 x轴从负4到4。图形由一条曲线组成。 曲线从第3象限开始,随着陡度减小到大约(-1.3,1)向上移动,随着陡度增大到大约(-1,0.7)向下移动,随着陡度减小到原点继续向下,随着陡度减小而向上移动, 并在象限1处结束。拐点位于(-1,0.7),曲线从陡度增加向下移动到陡度减小向下移动。 此点左侧的曲线部分向下凹,在该曲线中,陡度减小时向上移动,陡度增大时向下移动。 曲线在拐点右边的部分是向上凹的,其中曲线以降低的陡度向下移动,然后以增加的陡度向上移动。
问题1
小奥 要找出 f(x)=(x2)4 的拐点。下面是她的解决过程:
步骤 1:
f(x)=4(x2)3f(x)=12(x2)2
步骤 2: f(x)=0 的解为 x=2
步骤 3: fx=2时存在拐点。
小奥的解法正确吗?如果不正确,错在哪了?
选出正确答案:

常见错误:没有检查候选项

记住: 我们千万不能假设任何 f(x)=0时(或 f(x) 未定义)的点为拐点。相反,我们需要检查所有候选项并观察二阶导数是否在这些点变化了符号,以及函数是否有定义。
问题2
小罗 要找出 g(x)=Ax3 的拐点。下面是他的解法:
步骤 1:
g(x)=13x23g(x)=29x53=29Ax53
步骤 2: g(x)=0 无解。
步骤 3: g 没有拐点。
小罗的解答是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:没有包含导数未定义时的点

记住: 拐点的候选项是二阶导数等于0 以及 二阶导数未定义的点。忽略了二阶导数未定义的点,答案也就不正确了。
问题3
小汤要求 h(x)=x2+4x 的拐点。下面是他的解法:
步骤 1: h(x)=2x+4
步骤 2: h(2)=0,所以 x=2 是潜在拐点。
步骤 3
间隔测试 x-值h(x)Verdict
(,2)x=3h(3)=2<0h 下凹
(2,)x=0h(0)=4>0h 上凹
步骤 4: hx=2 之前下凹并且在x=2之后上凹,所以,hx=2时存在拐点。
小汤的解法正确吗?如果不正确,错在哪了?
选出正确答案:

常见错误:求一阶导出而没有求二阶导数

记住:当求拐点的时候,我们必须分析二阶导数的符号变化。 求一阶导数我们会获得相对极值,而不是拐点。
问题 4
已知 g(x)=x412x342x2+7
x 为何值时函数图像 g 存在拐点?
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