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主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 5

课程 7: 分析凹性和拐点
数学
微分学
函数分析
分析凹性和拐点
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分析二阶导求拐点

Google课堂
了解如何使用函数的二阶导求函数的拐点。了解在此过程中要避免的常见错误。
我们可以通过分析函数的二阶导数来寻找其的拐点。

示例：求函数 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript 的拐点

步骤 1: 求二阶导数
要找 f 的拐点，我们需要利用 f, start superscript, prime, prime, end superscript：
f′(x)=5x4+203x3f′′(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}
步骤 2: 找到所有后选项
与关键点类似，这些是当 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 或 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 未定义时的点。
f, start superscript, prime, prime, end superscript 在 x, equals, 0 与 x, equals, minus, 1时为0，并且其是由所有实数定义。所以 x, equals, 0 与 x, equals, minus, 1 是我们的候选。
步骤 3：分析凹凸性
间隔测试 x-值f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis结论
x, is less than, minus, 1x, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f 下凹 \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0x, equals, minus, 0, point, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 2, point, 5, is greater than, 0f 上凹 \cup
x, is greater than, 0x, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f 上凹 \cup
步骤 4：求拐点
现在我们知道f在间隔内的上凹或下凹情况，就可以找到拐点。(举例说明，凹凸性变化方向)。
  • f 在 x, equals, minus, 1之前下凹，之后变为上凹，并且在 x, equals, minus, 1时有定义。所以 f 在x, equals, minus, 1时有拐点。
  • f 在x, equals, 0之前以及之后上凹，所以不存在拐点。
我们可以通过查看f的图形来验证结果。
函数f已被绘制。 x轴从负4到4。图形由一条曲线组成。 曲线从第3象限开始，随着陡度减小到大约（-1.3，1）向上移动，随着陡度增大到大约（-1，0.7）向下移动，随着陡度减小到原点继续向下，随着陡度减小而向上移动， 并在象限1处结束。拐点位于（-1，0.7），曲线从陡度增加向下移动到陡度减小向下移动。 此点左侧的曲线部分向下凹，在该曲线中，陡度减小时向上移动，陡度增大时向下移动。 曲线在拐点右边的部分是向上凹的，其中曲线以降低的陡度向下移动，然后以增加的陡度向上移动。
问题1
小奥 要找出 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript 的拐点。下面是她的解决过程：
步骤 1:
f′(x)=4(x−2)3f′′(x)=12(x−2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
步骤 2: f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 的解为 x, equals, 2。
步骤 3: f 在x, equals, 2时存在拐点。
小奥的解法正确吗？如果不正确，错在哪了？
选出正确答案：

常见错误：没有检查候选项

记住： 我们千万不能假设任何 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0时(或 f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis 未定义)的点为拐点。相反，我们需要检查所有候选项并观察二阶导数是否在这些点变化了符号，以及函数是否有定义。
问题2
小罗 要找出 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root 的拐点。下面是他的解法：
步骤 1:
g′(x)=13x−23g′′(x)=−29x−53=−29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
步骤 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 无解。
步骤 3: g 没有拐点。
小罗的解答是否正确？如果不正确，错在哪里？
选出正确答案：

常见错误：没有包含导数未定义时的点

记住： 拐点的候选项是二阶导数等于0 以及 二阶导数未定义的点。忽略了二阶导数未定义的点，答案也就不正确了。
问题3
小汤要求 h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x 的拐点。下面是他的解法：
步骤 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4
步骤 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0，所以 x, equals, minus, 2 是潜在拐点。
步骤 3 ：
间隔测试 x-值h, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVerdict
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 2, right parenthesisx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h 下凹 \cap
left parenthesis, minus, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h 上凹 \cup
步骤 4: h 在 x, equals, minus, 2 之前下凹并且在x, equals, minus, 2之后上凹，所以，h 在x, equals, minus, 2时存在拐点。
小汤的解法正确吗？如果不正确，错在哪了？
选出正确答案：

常见错误：求一阶导出而没有求二阶导数

记住：当求拐点的时候，我们必须分析二阶导数的符号变化。 求一阶导数我们会获得相对极值，而不是拐点。
问题 4
已知 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7。
x 为何值时函数图像 g 存在拐点？
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