分析凹凸性 (代数)

这是函数g。 是一个四次多项式 然后我想知道在哪些区间g是 向下凹的或者向上凹的 我们先来回顾一下这些看着是什么样的 所以向上凹 向上凹 是一个区间 在这个区间内向上凹 就是说在这个区间内斜率是增长的 然后函数看着大概像一个向上开的U 你可以看到这里的斜率是负的 然后随着x的增长，斜率变得没那么抖了 然后它达到了0 之后过了0变成正的 然后变得越来越正 所以你可以看见斜率在一直上升 假如你以导数的方向来看的话 这表明你的一阶导数在区间内 是增长的 要使你的一阶导数在区间内 增长的话，你的二阶导数 也就是f''(x)，让我用g来写 因为题目里用的是g 一阶导数增长的话 ……让我这样写 g 向上凹就表示 一阶导数增长 增长 也就表明你的二阶导数 大于零 然后向下凹是相反的 向下凹 向下 在区间内向下凹表示 斜率在减低 所以g'(x)减低 表示我们的二阶导数 我们的二阶导数小于零 跟刚刚一样，我可以在这上画出来 当x小的时候 我们有一个正的斜率 然后减小 然后斜率减小 接近零，之后达到零 然后变成负的，然后变得更加负了 之后更加负了 你可以看见随着x的增长 斜率一直在减低 所以说要求得g是向上或者 向下凹的区间 我们需要求g的二阶导数 然后要考虑 二阶导数从负变成正或者 正变成负的点 在这些点二阶导数无定义 或者是等于零 然后再看在这些点之间的情况 然后我们就知道在哪些区间里 函数是向上或者向下凹的了 那我们现在开始 先求g的一阶导 这里直接用导数公式 4乘-1 是-4x^3 然后是2乘6 就是12x 最后减2 或者说减2乘x的零次方 等于减2 然后-3是个常数，所以 导数就是0 现在我可以求二阶导，g''(x) 等于3乘-4 得12x^2 这里是将次方减了一，再加上12 那在什么地方二阶导数无定义呢？ 这个二阶导数就是个一元二次方程 对于任何x都有定义 所以没有无定义的地方 那么我们可能从 负变成正或者 正变成负的地方是二阶导数 等于0的地方 那我们一起来算 我们需要求-12x^2+12 等于0的地方 在两边减去12 我们得到-12x^2等于-12 两边除以-12 得到x的平方等于1 或者说x等于正负 或者说x等于正负根号1 也就是1 所以，二阶导数在正负1 的地方等于0，所以在它们之间 或者它们的任意一边，函数都可能是 向上或者向下凹的 仔细想一下 为了方便我们思考，我要画一条数线 我来找一个好看的、平缓点的颜色 好，这是一个好看的、平缓点的颜色 我们应该把这个 再画大点 这样子，充分利用一下屏幕空间 然后这个是0，这个是-1 这是-2，这是1 这是2 我们已知在x等于-1 和x等于1的时候，我们的二阶导数是0 让我们想一下在这中间 发生了什么，看看二阶导数 是正的还是负的，这样我们就可以知道 它是向上还是向下凹了 那这边是第一个区间 这个区间 这个区间是从 负无穷到负一 让我们试试这个区间里面的一个值 看看二阶导数 是正的还是负的 用-2比较简单 -2位于这个区间内 我们来求g''(-2) 等于-12乘4 因为-2的平方是4 得到-48加12 结果等于-36 这里你要知道 因为它在这里是负数 然后在这整个区间里 因为它没有经过0 也没有在哪里不连续 这也是为什么我选这个区间 然后在这整个区间里 g''(x)都是小于0的 也就是说在这整个区间里 我们都是向下凹的 所以是向下凹的 向下凹 现在我们来看-1和1之间的区间 这是在-1和1之间的开区间 我们来试一个值 就直接用0吧，比较简单 g''(0)等于……假如x是0的话，这个就是0 所以就等于12 因为二阶导数在这里 是大于0的，所以在-1到1 整个区间内 函数都是向上凹的 最后，我们来看 x大于1的区间 这是从1到正无穷的区间 这样的话 我们还是来试一个值 就试g''(2) 因为2在区间内 g''(2)等于 g''(-2) 因为无论是2还是-2 它的平方都是4 所以是4乘-12 等于-48再加上12，等于-36 所以答案是-36，跟之前一样，在这个区间内 函数是向下凹的 那现在我们对比一下 我之前已经把图像画好了，看看我们算的 和实际图像相不相符 我们在没画图像的情况下就能得知 关于函数的凹凸性的信息 但是跟图像对比一下会更有成就感 让我试试把这区间配对上 这看着挺准的 就是这了 那现在…… 其实我还可以把它缩小点 让我移动一下整个画面 那之前我们得到函数在 负无穷一直到 一直到-1之间是向下凹的 一直到这边这个点 所以一直到这个点 这看着没错 斜率确实一直在减低 一直到x等于-1这里 然后斜率开始增长 斜率从这里开始增长 然后一直到…… 正好在x等于-1的时候转换 让我在这留个空位不涂颜色 所以在这里斜率是在增长的 我切到同样的颜色 斜率在增长……增长 增长……一直到 x等于1 之后斜率又开始减低了 然后我们又回到向下凹了 啊，我想用橙色来着 我们回到了向下凹 所以在图上我们可以看见 我们用导数 来求得的一些信息