拐点 (代数)

这道题，g(x) 等于 1/4 x 的四次方， 减去 4 x 的三次方，加 24 x 平方。 x 等于何值时， 是 g(x) 函数图像的拐点？ 拐点在何处？ 我们先回忆一下， 拐点是什么。 拐点就是曲线上改变凹凸性的点， 在拐点处改变了凹凸性。 或者说拐点是二阶导数 g''(x) 改变符号的点， 改变符号。 好我们来研究二阶导数， 先把二阶导数算出来。 我们已知 g(x) 等于 1/4 x 的四次方， 减 4 x 的三次方，加 24 x 平方。 据此，我们计算 g'(x)， g'(x) 等于， 直接应用指数函数求导， 4 乘以 1/4 等于 1。 1 不用写， 就等于 1 乘以 x 的 4 减 1 次方， 也就是 x 的 3 次方， 减去 3 乘以 4 等于 12， x 的 3 减 1 次方， 就是 x 的 2 次方， 加 2 乘以 24，48 x 的 2 减 1 次方， 也就是 x 的 1 次方， 就写成 x。 这就是了， 就是一阶导数， 我们再计算二阶导数。 g''(x) 就是 一阶导数的导数， 仍然是指数函数求导， 3 x 平方减 24 x 一次方，也就是 24x，加 48。 我们现在考虑一下， 它何时改变符号？ 这是一个连续函数， 对所有的 x 都有定义， 因此它若改变符号， 只有可能是在它等于 0 的时候。 现在，来看它什么时候为 0， 我们让它等于 0。 3 x 平方减 24 x 加 48， 等于 0，我们看， 每一项都能整除 3， 我们把 3 除去。 得到 x 平方减 8x 加 16， 加 16，等于 0。 能因式分解吗？ 可以，它等于 x 减 4 乘以 x 减 4， 也就是 x 减 4 的平方等于 0， 也就是 x 减 4 等于 0， 解出来 x 就等于 4。 所以 g''(4) 等于 0， 我们来看这个点的两侧是什么情况， 来看看是否确实是改变符号了。 我在这画一个数轴， 我标记上，这是 2，3， 4，5，可以一直下去。 我们知道这个点是我们要关注的， g''(4) 等于 0， 我们先考虑在 x 小于 4 时， 二阶导数是正还是负。 我只需要算一下 g''(0) 即可， 这个值很好算， g''(0) 等于 48。 所以当 x 小于 4 时， 二阶导数 g''(x) 是大于 0 的。 因此在 4 的左边区间内， 函数图像是上凹的。 我们现在来看 4 的右边。 我们用别的颜色。 4 的右边是什么情况呢？ 我们再算一个 比较容易计算的值。 所以我选，二阶导数 g'' 在，我看看， x 等于 10 的值怎么样？ 我在这里计算， 在这里，它等于， 下拉一些，多些位置。 那么 g''(10) 等于 3 乘以 10 平方，就是 300 减 24 乘以 10， 就是减 240，加48， 我看看，这里是 60， 300 减 240 等于 60，再加 48， 结果等于 108。 结果还是正的。 因此在 4 的两边， g''(x) 都大于 0。 因此，尽管——尽管 二阶导数在 x 等于 4 处为 0， 但是它两侧都是上凹的。 在它两侧，二阶导数都是正的。 但这已经是唯一有可能的点了。 所以，函数 g 没有拐点。 如果 x 等于 4 是 g 的一个拐点， 那么 g 的二阶导数一定在这里改变符号， 一定是从正变负，或者从负变正， 但实际并非如此，它是从正还变成正。 所以这里的二阶导数是正的， 只是在这里变成 0， 然后又变回正的了。 我们回到原题， x 等于何值，是函数 g 的拐点？ 没有，g 没有拐点！ 来个感叹号强调一下。