绝对极小值和最大值复习

函数在绝对最大值 点取得其最大值。同样，函数在绝对最小值 点取得其最小值。

假如你已经知道如何求 局部极小值和极大值，求解绝对极值点还要多一个步骤：考虑两个方向上的端点。

极值定理 告诉我们，连续函数在闭合区间内一定有绝对最小值和最大值。这些极值要么是在区间内的相对极值点上，要么在区间的端点上。

例如, 求$h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x 在区间 $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 上的绝对极值。

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis，因此临界点是 $x=-2$x, equals, minus, 2 和 $x=1$x, equals, 1。它们将封闭区间 $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3分隔成三部分:

现在, 我们来看看临界点 和区间的端点:

在封闭区间 $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 上，点 $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis 和 $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis 是相对极小值点，而点 $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis 和 $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis 是相对极大值点。

请注意，最小值处于区间内，而最大值位于区间的一端点上。

并非所有函数在其整个定义域内都有绝对的最大值或最小值。例如，线性函数 $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x 没有绝对最小值或最大值 (我们想要多小/大就多小/大)。

但是，某些函数在其整个定义域内确实有绝对极值。例如，我们来分析一下函数 $g(x) = xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript。

$g'(x) =e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis，因此唯一的临界点是 $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction。

想象一下，我们在 $g$g的图上移动，从最左边出发 (起点 $-\infty$minus, infinity)，一直走到最右边 (终点 $+\infty$plus, infinity)。

我们开始时将一直向下走，直到我们到达到 $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction。然后，我们将不断往上走。因此 $g$g在 $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction处取得绝对最小值。该函数没有绝对最大值。