绝对极小值和最大值复习

函数在绝对最大值 点取得其最大值。同样，函数在绝对最小值 点取得其最小值。

假如你已经知道如何求 局部极小值和极大值，求解绝对极值点还要多一个步骤：考虑两个方向上的端点。

极值定理 告诉我们，连续函数在闭合区间内一定有绝对最小值和最大值。这些极值要么是在区间内的相对极值点上，要么在区间的端点上。

例如, 求$h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍ 在区间 $-3\le x\le 3$‍ 上的绝对极值。

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍，因此临界点是 $x=-2$‍ 和 $x=1$‍。它们将封闭区间 $-3\le x\le 3$‍分隔成三部分:

现在, 我们来看看临界点 和区间的端点:

在封闭区间 $-3\le x\le 3$‍ 上，点 $(-3,9)$‍ 和 $(1,-7)$‍ 是相对极小值点，而点 $(-2,20)$‍ 和 $(3,45)$‍ 是相对极大值点。

请注意，最小值处于区间内，而最大值位于区间的一端点上。

并非所有函数在其整个定义域内都有绝对的最大值或最小值。例如，线性函数 $f(x)=x$‍ 没有绝对最小值或最大值 (我们想要多小/大就多小/大)。

但是，某些函数在其整个定义域内确实有绝对极值。例如，我们来分析一下函数 $g(x)=x{e}^{3x}$‍。

$g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍，因此唯一的临界点是 $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍。

想象一下，我们在 $g$‍的图上移动，从最左边出发 (起点 $-\mathrm{\infty }$‍)，一直走到最右边 (终点 $+\mathrm{\infty }$‍)。

我们开始时将一直向下走，直到我们到达到 $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍。然后，我们将不断往上走。因此 $g$‍在 $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍处取得绝对最小值。该函数没有绝对最大值。