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在闭区间上求极值

小萨求解函数f(x)=8ln(x)-x² 在区间 [1,4] 上的绝对最大值。 Sal Khan 创建

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有这么一个函数 f(x)=8lnx - x^2, 它在闭区间[1,4]上有定义, 这是一个闭区间。 它包括了1和4. 你可以把这看作函数的定义域, 因为函数在此区间有定义。 已知这个信息,函数的这个定义, 我想要你求解 在这里定义的函数f的绝对最大值, f在这个闭区间上有定义。 请暂停本视频 自己思考一下。 极值定律告诉我们, 在闭区间上, 我这里说的是普适情形,这是x轴 假设在一个闭区间上 我们定义了某个函数。 在这个闭区间上,函数可能有几种情况。 我们可能有一个极大值, 该极大值出现在区间的起始点。 比如这样。 极大值也可能出现在区间的终止点。 比如这样, 这是区间的终止点。 或者,极大值可能出现在区间内某一点。 比如这样。 像是这样, 在这个极大值点, 曲线的斜率是0,即这里的导数等于0, 又或者区间内有极大值 像这样。 如果是这样, 那么这里的导数无定义。 在此区间内,可能有不同的曲线存在。 我们需要做的是, 测试不同的点。 我们需要测试函数在区间起始点, 函数在区间终止点, 以及是否有任何点, 那里函数的导数或者等于0, 或者没有定义。 那些函数的导数或者等于0 或者没有定义的点,之前我们已经见过了, 我们称之为临界值。 不管哪种情况, 如果我们假设都是这个点, 我们把它叫做一个临界值。 一个临界值。 这些都有可能是极大值点。 现在区间内可能有这么一个临界值, 它的斜率等于0,比如这样, 但是它不是最大值也不是最小值。 我们能做的是,找出所有临界点, 求出函数 在这些临界点的值 和函数在区间端点的值, 看看哪个值最大。 所有这些都是可能的最大值。 首先要做的是, 找出临界点,这是一定要做的。 所以,我们对f求导。 f’(x)就等于 因为lnx的导数是1/x。 f’(x)等于8/x-2x。 让它等于0。 我们来看这里这部分, 在等式的两边加2x,得到8/x=2x。 两边同乘以x, 我们得到8=2x^2。 两边同除以2,得到4=x^2。 如果仅仅是解这个方程, x等于2或者-2。 但是我们知道函数是在这个区间定义的, 所以-2不在函数的定义域内。 那么我们只需要考虑x=2。 这个点肯定是一个临界点。 我们已经找到了所有的临界点了吗? 临界点。 这是除了-2外唯一的一个值, 也是区间内唯一的值, 使得f’(x)=0。 在哪里函数的导数没有定义呢? 唯一的一个让f’(x) 没有定义的点是该导数的分母等于0的点, 但是0不在函数的定义域内, 所以区间内唯一的临界点就是x=2。 现在我们只需要检查函数在区间端点 和临界点的值,看看哪个值最大。 所以我们来求f(1), 它等于8ln1-1^2。 来看f(4), f(4)等于8ln4-4^2, 当然4^2等于16。 然后来看f(2)。 这些是区间端点,而这个是临界点。 等于8ln2-2^2。 那么,哪个值最大呢? 你可能想用计算器来算, 但我们可以试试估算一下。 这里,ln1等于0, 因为e^0等于1。 8乘以0等于0,所以这里结果是-1。 现在来看,这个的结果是什么呢? ln4,因为e等于2.7, 所以它的结果是介于1和2之间。 介于1和2之间。 因为它介于1和2之间, 所以它乘以8就得到 8和16之间的一个数。 再减去16, 就得到0和-8之间的一个数。 好吧,不是很精确, 至少不用计算器,我们粗略地知道哪个值更大。 然而这两个数都是负数。 那么这个呢? 这里的ln2。 ln2等于一个小数。 它要大于½。 因为它大于½, 那么这项就大于4, 这就意味着整个结果是正值。 所以这是负值,这也是负值,这是正值。 这些是仅有的 函数可能取最大值的点。 我取这个点。 函数的最大值发生在 当x等于2时,该最大值是 8ln2-4。 这是函数在区间上的绝对最大值, 该区间是函数有定义的范围。 当然,我们可以用计算器来验算。 这个我们已经算出来了,让我们来看f(4), 8ln4减去16约等于-5。 所以, 这个肯定不是最大值。 而f(2)等于8ln2减去4, 这个结果确实是个正数。 所以我们前面做的没问题。