主要内容
用二阶导判断
根据一个函数的二阶导所做的“基于微积分的推理“可以用来判断这个函数的凹性以及拐点。
从一阶导数 f, prime 中, 我们可以得出原函数f的增减性, 以及原函数f极值点的位置。
二阶导数 f, start superscript, prime, prime, end superscript给我们提供了原函数f的凹性信息，以及原函数f在哪里有拐点。
让我们回顾一下什么是凹性。
如果函数的斜率增加, 则称其为 上凹。此时它的图像为向上凹的形状, 即 \cup杯形.
同样, 如果一个函数的斜率减小, 则称其为下凹, 图像为向下凸的曲线, 即 \cap帽形。
拐点 是函数凹性改变的点。
如何通过 f, start superscript, prime, prime, end superscript 确定原函数 f 的凹性
当函数的二阶导数 f, start superscript, prime, prime, end superscript 为正, 意味着一阶导数 f, prime 递增, 即原函数 f 是凹的. 同样, 负的二阶导数 f, start superscript, prime, prime, end superscript 意味着一阶导数 f, prime 递减, 即原函数 f 是凸的.
| f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
|---|---|---|
| 正 plus | 递增 \nearrow | 上凹 \cup |
| 负 minus | 递减 \searrow | 下凹 \cap |
| 穿过 x 轴 (改变符号) | 极值点 (改变方向) | 拐点 (改变凹性) |
下面是图像示例:
| f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
|---|---|---|
注意函数f在x, equals, c的左边是 start color #aa87ff, start text, 下, 凹, 的, end text, end color #aa87ff, 在x, equals, c的右边是start color #1fab54, start text, 上, 凹, 的, end text, end color #1fab54。
常见错误: 混淆 f, f, prime, 和 f, start superscript, prime, prime, end superscript 三者之间的关系
请记住, 如果f是上凹的, 则必须满足f, prime递增, 且f, "为正。除此之外, f， f, prime与f, start superscript, prime, prime, end superscript的其他性质不一定相关.。
以上述问题1为例, f, start superscript, prime, prime, end superscript 在区间 open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket 是上凹的, 但在此区间上f未必也是上凹的.
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常见错误: 没有正确解读图像给出的信息
假如有位同学正在计算上面的问题2, 错把图像当作 h 的 一阶 导数图像。 这样的话, h 就有两个拐点 A 和 B, 因为 h, prime 在这两个点处改变了方向。 这位同学做错了, 因为这是 h 的 二阶 导数图像, 正确答案应该是 D。
请记住，始终确保要正确理解图像给出的信息, 分辨清楚题目中给出的图像是原函数f, 是一阶导数f, prime, 还是二阶导数 f, start superscript, prime, prime, end superscript？
用二阶导数判断函数的极值点是极大值还是极小值
假设函数f的极值点位于x, equals, 1, 并且它在区间open bracket, 0, comma, 2, close bracket中是上凹的。根据这些信息, 我们能否判断该极值点是极小值点还是极大值点?
答案是非常肯定的。 上凹函数的图像是一个\cup 杯形, 这样的形状, 曲线只可能有极小值点。
同样, 如果函数在极值点处是下凹的, 则该点一定是极大值点。
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