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主要内容

用二阶导判断

根据一个函数的二阶导所做的“基于微积分的推理“可以用来判断这个函数的凹性以及拐点。
从一阶导数 f 中, 我们可以得出原函数f的增减性, 以及原函数f极值点的位置。
二阶导数 f给我们提供了原函数f凹性信息,以及原函数f在哪里有拐点。

让我们回顾一下什么是凹性。

如果函数的斜率增加, 则称其为 上凹。此时它的图像为向上凹的形状, 即 杯形.
函数f的图像是上凹的 (注意它的 形)。请注意随着x增加, 曲线的斜率也在增加。
同样, 如果一个函数的斜率减小, 则称其为下凹, 图像为向下凸的曲线, 即 帽形。
函数f的图像是下凹的 (注意它的帽形)。请注意随着x的增加, 函数的斜率在减少。
拐点 是函数凹性改变的点。

如何通过 f 确定原函数 f 的凹性

当函数的二阶导数 f 为正, 意味着一阶导数 f 递增, 即原函数 f 是凹的. 同样, 负的二阶导数 f 意味着一阶导数 f 递减, 即原函数 f 是凸的.
fff
+递增 上凹
递减 下凹
穿过 x 轴 (改变符号)极值点 (改变方向)拐点 (改变凹性)
下面是图像示例:
fff
注意函数fx=c的左边是 下凹的, 在x=c的右边是上凹的
问题1
f为二阶可导函数。这是f二阶导数图像, f
在什么区间内,函数f始终是上凹的?
选出正确答案:

常见错误: 混淆 f, f, 和 f 三者之间的关系

请记住, 如果f是上凹的, 则必须满足f递增, 且f"为正。除此之外, fff的其他性质不一定相关.。
以上述问题1为例, f 在区间 [8,2] 是上凹的, 但在此区间上f未必也是上凹的.
问题2
h 为二阶可导函数. 其 二阶导数, h 的图像如下.
h 的拐点在哪里?
选出正确答案:

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常见错误: 没有正确解读图像给出的信息

假如有位同学正在计算上面的问题2, 错把图像当作 h一阶 导数图像。 这样的话, h 就有两个拐点 AB, 因为 h 在这两个点处改变了方向。 这位同学做错了, 因为这是 h二阶 导数图像, 正确答案应该是 D
请记住,始终确保要正确理解图像给出的信息, 分辨清楚题目中给出的图像是原函数f, 是一阶导数f, 还是二阶导数 f
问题3
二阶可导函数g以及它的二阶导数g图像如下。
判断 x=2 是否是 g 的拐点, 四名同学分别给出 基于微积分的判断理由
你能把每个学生给出的判断理由和老师的评语一一配对吗?
1

用二阶导数判断函数的极值点是极大值还是极小值

假设函数f的极值点位于x=1, 并且它在区间[0,2]中是上凹的。根据这些信息, 我们能否判断该极值点是极小值点还是极大值点?
答案是非常肯定的。 上凹函数的图像是一个 杯形, 这样的形状, 曲线只可能有极小值点。
同样, 如果函数在极值点处是下凹的, 则该点一定是极大值点。
问题 4
h 为二阶可导函数, 其二阶导数 h 图像如下.
若我们已知 h(4)=0, 对于 x=4h 的极大值点这个结论, 基于微积分的判断理由是什么?
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