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主要内容

用一阶导数来判断

让我们来仔细看看一个函数的表现是怎么和它的导数的表现相关。这种推理叫做“基于微积分的推理”。让我们学习怎么正确地运用它。
导数f能为我们提供各种关于原始函数f的有趣信息。我们来看一看。

f 如何告诉我们 f 是递增还是递减

回想一下函数的递增定义,当x-值增加时,函数值也会增加。
从图像上看,这意味着我们朝右侧走,图像会朝上发展。同样的,递减函数当我们往右侧移动时,会朝下发展。
函数f被绘制。 x轴未编号。 该图由一条曲线组成。 曲线从第3象限开始,向上或逐渐增加,向下凹至象限2中的点,向下或逐渐减小,逐渐向下凹入,直到象限4中的点,然后向下凹入向上直至象限4中的点 ,向上移动或正在增加,向上凹,并在第1象限结束。
现在假设我们没有f的图像,但我们有其导数f的图像。
绘制了函数f‘。 x轴未编号。 该图由U形曲线组成。 曲线从第2象限开始,通过负x轴向下凹入向上移动到第4象限中的点,通过正x轴上的点向上凹入向上移动,并在象限1中结束。
我们同样可以判断f递增还是递减,基于导数 f符号
  • 导数 f (例如,在x-轴之上) 的区间,函数 f 递增
  • 导数 f (例如,在x-轴之下)的区间,函数 f 递减
函数f‘的图形突出显示了3个部分。 图的在象限2中向下移动的部分是f’为正且f增加的地方。 图的在象限3中向下移动然后在象限4中向上移动的部分是f‘为负且f在减小。 图表在象限1中向上移动的部分是f’为正且f增加的地方。
我们在通过导数判断函数属性时,采用的是 以微积分为基础 的方法。
问题1
这是两个证明函数f为增函数的有效方法:
A. 随着 x-值递增,f 的值同样递增。
B. f 的导数永远为正。
上述哪项为基于计算 的证明?
选出正确答案:

问题2
函数f与其导数f的差别如图。
什么才是当x>3f递减的合理的 以为积分为基础 的证明 ?
选出正确答案:

常见错误:与导数和导数符号无关的图像。

当使用导数图像时,需要记住两点非常重要的因素:
  • f(x)<0 在某个点或区间。
  • fx-轴之下的点/区间的图像。
(同样的还有 f(x)>0 以及在 x-轴之上。)

f 如何告诉我们 f 是否存在相对最大值或最小值?

要求函数f在某个点存在相对最大值,它必须在某个点之前 递增并且在该点 之后递减。
在最大值点本身,函数既不递增也不递减。
函数f被绘制。 x轴未编号。 该图由一条曲线组成。 曲线从第3象限开始,向上或正在增加,向下凹直到象限2中的相对最大值,向下或逐渐减小,凹入直到象限4中的一点,然后向下凹入向上直到象限4中的一点 4,向上凹入向上移动,并在第1象限结束。
图形中的导数 f,意味着在该点 穿过 x-轴,所以函数在该点之前位于x-轴之上,并且之后位于x-轴之下。
绘制了函数f‘。 x轴未编号。 该图由U形曲线组成。 曲线从第2象限开始,通过负x轴向下凹向上移动,其中f具有相对最大值,直到第4象限,通过正x轴点向上凹向上移动,最后以象限结束 1。
问题3
函数g与其导数g的差别如图。
如何通过合理的 基于微积分的证明 证明 gx=3时存在相对最小值点?
选出正确答案:

常见错误:混淆函数与其导数之间的关系

如我们所见,导数的符号对应函数的方向。但是我们无法给予其他类型的行为进行任何证明。
举个例子,导数递增并不意味着函数递增(或为正)。进一步说,导数在某个x-值存在相对最大或最小值,并不意味着函数必须在该x-值时存在相对最大或最小值。
问题 4
可微分的函数h与其导数h如图。
四名学生被要求用 微积分证明x>0时,h递增。
你能把每个学生给出的判断理由和老师的评语一一配对吗?
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常见错误:使用晦涩或非特定语言。

我们观察函数和其导数之间的关系时,存在很多影响因素:函数本身,函数的导数,函数的方向,导数的符号等等。非常清楚的明白哪一项是什么意思,非常重要。
例如上面的问题 4, 基于微积分证明的正确方法,求证 h 递增所以 h 为正,或者在x-轴之上。 其中一名学生的证明是 "x-轴之上。"证明无法判断究竟是 什么 位于 x-轴之上:是 h的图像?h的图像?还是其他什么东西?没有明确之前,此类证明都是无法被接受的。

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