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课程: 微分学 > 单元 5

课程 10: f、f‘ 和 f" 的关系
数学
微分学
函数分析
f、f‘ 和 f" 的关系
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用一阶导数来判断

Google课堂
让我们来仔细看看一个函数的表现是怎么和它的导数的表现相关。这种推理叫做“基于微积分的推理”。让我们学习怎么正确地运用它。
导数f′能为我们提供各种关于原始函数f的有趣信息。我们来看一看。

f′ 如何告诉我们 f 是递增还是递减

回想一下函数的递增定义，当x-值增加时，函数值也会增加。
从图像上看，这意味着我们朝右侧走，图像会朝上发展。同样的，递减函数当我们往右侧移动时，会朝下发展。
现在假设我们没有f的图像，但我们有其导数f′的图像。
我们同样可以判断f递增还是递减，基于导数 f′的符号：
  • 导数 f′ 为 正 (例如，在x-轴之上) 的区间，函数 f 递增。
  • 导数 f′ 为 负 (例如，在x-轴之下)的区间，函数 f 递减。
我们在通过导数判断函数属性时，采用的是 以微积分为基础 的方法。
问题1
这是两个证明函数f为增函数的有效方法：
A. 随着 x-值递增，f 的值同样递增。
B. f 的导数永远为正。
上述哪项为基于计算 的证明？
选出正确答案：

问题2
函数f与其导数f′的差别如图。
什么才是当x>3时f递减的合理的 以为积分为基础 的证明 ？
选出正确答案：

常见错误：与导数和导数符号无关的图像。

当使用导数图像时，需要记住两点非常重要的因素：
  • f′(x)<0 在某个点或区间。
  • f′在x-轴之下的点/区间的图像。
(同样的还有 f′(x)>0 以及在 x-轴之上。)

f′ 如何告诉我们 f 是否存在相对最大值或最小值？

要求函数f在某个点存在相对最大值，它必须在某个点之前 递增并且在该点 之后递减。
在最大值点本身，函数既不递增也不递减。
图形中的导数 f′，意味着在该点 穿过 x-轴，所以函数在该点之前位于x-轴之上，并且之后位于x-轴之下。
问题3
函数g与其导数g′的差别如图。
如何通过合理的 基于微积分的证明 证明 g 在 x=−3时存在相对最小值点？
选出正确答案：

常见错误：混淆函数与其导数之间的关系

如我们所见，导数的符号对应函数的方向。但是我们无法给予其他类型的行为进行任何证明。
举个例子，导数递增并不意味着函数递增（或为正）。进一步说，导数在某个x-值存在相对最大或最小值，并不意味着函数必须在该x-值时存在相对最大或最小值。
问题 4
可微分的函数h与其导数h′如图。
四名学生被要求用 微积分证明当x>0时，h递增。
你能把每个学生给出的判断理由和老师的评语一一配对吗?
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常见错误：使用晦涩或非特定语言。

我们观察函数和其导数之间的关系时，存在很多影响因素：函数本身，函数的导数，函数的方向，导数的符号等等。非常清楚的明白哪一项是什么意思，非常重要。
例如上面的问题 4， 基于微积分证明的正确方法，求证 h 递增所以 h′ 为正，或者在x-轴之上。 其中一名学生的证明是 "它 在x-轴之上。"证明无法判断究竟是 什么 位于 x-轴之上：是 h的图像？h′的图像？还是其他什么东西？没有明确之前，此类证明都是无法被接受的。

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