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用二阶导判断:最大值

当函数的导数为 0 时,我们可以通过观察二阶导来判断这个函数是否有相对最大值。

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题目中说,我们已知 h'(-4) 等于 0, 下列哪个选项基于计算地证明了 x 等于 -4 是 h 的局部极大值点? 这里是函数 h 的图像, 这是 y 等于 h(x) 的图像。 然后,没有画一阶导数, 而是画了二阶导数的图像, 就是这条橘色线,h''。 我们还知道, 已知 h’(-4) 等于 0, 所以我们已知在 x 等于 -4 处 一阶导数等于 0, 你可以看到切线的斜率在 x 等于 -4 处确实是等于 0 的。 根据这些,基于计算的证明—— 划重点,如何基于计算的证明, x 等于 -4 是 h 的局部极大值点? 第一个说,因为 h''(-4) 是负的。 什么意思呢? 如果二阶导数为负, 那意味着一阶导数在减小, 换句话说,在这个位置 至少在 x 等于 -4 处, 曲线是上凸形, 也就是说,在 x 等于 -4 附近, 曲线总的来说应该是这种形状。 而如果 x 等于 -4 处的斜率为 0, 好吧,这就说明: 是的,这里确实是局部极大值点。 如果这个点的二阶导数为正, 我们的曲线就是下凸的。 再加上此处导数为 0, 我们就能说,这里是局部极小值点。 但这确实是对的。 在 x 等于 -4 处二阶导数是负的, 也就是说曲线是上凸形, 也就是说曲线是个倒 U 形, 而导数为 0 的点确实就是局部极大值点。 所以就应该选它。 选出来了,但还是来看看其他选项。 h 在 x = -4 之前增大, 这个没错, 在 x 等于 -4 之前是增大的, 之后 h 是减小的。 这是对的,这么考虑很合理, 嘿,我们要找极大值点, 假设我们的函数是连续的, 在 x 等于 -4 处, 这是对的。 它说明了这是一个极大值点, 但不是基于计算的证明。 所以我们把它排除。 二阶导数在 x 等于 -4 处取到极小值。 这句话是没错, 这里确实是极小值, 但它并没有证明为什么 为什么 h(-4)—— 为什么 x 等于 -4 是 h 的极大值点。 比如,这里, 比如这样也是二阶导数的极小值点, 但二阶导数仍然为正。 所以如果二阶导数是这样呢? 这里还是极小值点, 但如果这一点为正, 曲线就会下凸, 就意味着在 x 等于 -4 处 原函数不会是极大值点, 而有可能是极小值点。 所以只有极小值点这个条件是不够的。 为了确保这里是局部极大值点, 你就必须要知道二阶导数在此处为负才行。 然后是第四个选项,h'' 下凸, 二阶导数确实是下凸的, 但它下凸并不能证明原函数也下凸。 比如,我直接用这个例子好了。 比如二阶导数可能是这样, 它是下凸的, 但它始终为正, 而如果二阶导数始终为正, 那就意味着一阶导数始终在增大, 那也就意味着原函数 始终是下凸的。 而如果函数一直是下凸的, 那就不会在 x 等于 -4 处有局部极大值。 所以也要排除。