临界点介绍

我在这里用黄色画了一个形状奇特的函数， 我现在要考虑的是 这个函数何时取到最大值和最小值。 为了方便后面讲解， 我们假设当 x 越来越小， 函数值也越来越小， 在区间右边，随着 x 增大， 函数值也是越来越小。 那么这个函数的最大值在哪里？ 直接就能看到， 应该是在这个位置。 我们称它为全局最大值。 函数没有其他值大于它， 所以我们说，函数在 x0 点取得全局最大值。 因为 f(x0) 大于等于 f(x)， 对于定义域中的任意 x 都成立。 这很明显，用眼睛看就知道。 那么我们这个函数，有全局最小值么？ 没有。 这个函数能够取到任意小的值， 当 x 趋于负无穷时， 函数值趋于负无穷。 x 区域正无穷时， 函数值也趋于负无穷。 所以——我写下来—— 它没有全局最小值。 我来问一个问题， 我们有局部极大值或极小值吗？ minima 是极小值 minimum 的复数形式， 而 maxima 是极大值 maximum 的复数形式， 它有局部极小值，或者局部极大值吗？ 局部极小值，用直觉来讲， 这个点的函数值比周围的点小。 所以这里，应该就是一个局部极小值， 我给出的不是严格定义， 但可以这么去理解， 我们可以说， x1 是局部极小值点， 因为 x1周围有一个区间， f(x1) 小于这个区间内的任何 f(x)。 用眼睛也能直接看出来， 这一点的值比周围的 f 值都小， 就在这里。 还有其他的局部极小值吗？ 好像没有了。 那么局部极大值呢？ 这里的这个点——我用紫色， 还是不要混用了，我用这个颜色—— 这个点，应该就是一个局部极大值点。 写错了 lox 是熏鲑鱼的意思， 局部极大值，就在这里。 所以我们可以说， x1 点，抱歉，是 x2 点， x2 是局部极大值点。 因为 f(x2) 大于在 x2 附近的 任何 f(x) 值， 我说的并不严格。 但用眼睛看就足够了， 很好， 我们已经找出所有的局部极大值和极小值， 统称为这个函数的极值点。 如果我们知道函数的导数， 那么如何找出极值点呢？ 我们先来看看这些点的导数值。 这里第一个点， 如果我要画出切线， 我要用个好看的颜色。 如果我要画出切线， 那就应该是这样的。 斜率为 0。 那么我们说 f'(x0) 等于 0， 这个点的切线斜率为 0。 那么这里呢？ 切线还是这个样子的， 那么还是一样，我们说 f'(x1) 等于 0。 那么这里呢？ 这里不存在切线，没有定义。 从这里看斜率一直是正的， 然后突然变成负的。 所以在这里，f'(x2) 不存在。 我写“不存在”。 所以我们有——再次说明， 我不是在严格证明，这样是为了你能更好理解。 我们可以看到，如果这里是极值点—— 我们没有讨论 x 是区间端点的情况， 我再明确一下， 我说 x 是一个区间的端点， 就是说，比如这个函数， 它就定义在这个区间内， 比如说函数从这里开始， 然后向后， 它就是极大值点，但它是端点， 我们现在不讨论端点的情况。 我们讨论的是在区间内， 或者区间是整个数轴。 所以我们不是在讨论这样的点， 或者这样的点。 我们讨论的是中间的点， 所以如果点在区间内， 并且它是极大或极小值点， 这里可以直观的看到， 如果——非端点的极大或极小值点， 比如，x 等于 a 点， 如果已知这是极大或极小值点， x 等于 a 这个点， 而且 x 不是区间的端点， 就有个有趣的结论， 至少直觉如此， 可以看到，x 等于 a 处的导数等于 0， 或者，x 等于 a 处的导数无定义，不存在。 每个情况都是如此， 导数为 0，导数为 0，导数不存在。 专门有个词来称呼这种导数为 0 或者导数不存在的点， 叫做临界点。 所以在这个函数中， 临界点包括， 我们有 x0， 也包括 x1， 在 x0 和 x1 点处，导数为 0。 也包括 x2，此处导数不存在。 所以，如果有一个非端点的极大或极小值点， 那么它一定是临界点。 但反过来说成立吗？ 如果我们找到一个临界点，导数为 0， 或者导数不存在， 那么它一定是极大或极小值点吗？ 要搞清楚这个问题，我们只需要来看这个点。 我们记作 x3， 我们看这个点的切线， 我们看它的斜率， f'(x3) 应该也等于 0， 根据我们对临界点的定义， x3 就是一个临界点。 但它好像并不是极大或极小值点。 所以，非端点的极大或极小值点 一定是临界点。 但临界点却并不一定是极大或极小值点。 说得更明白些， 这些点都是极大或极小值点， 而这个点是临界点， 它们都是临界点。 但这个点并不是极大或极小值点。 在下个视频中， 我们要思考如何分辨 一个临界点是否是极大或极小值点。