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主要内容

求相对极值 (一阶导数判定)

一阶导数判定法的过程是用函数的一阶导数分析函数,以求出极值的过程。这涉及到多个步骤, 因此我们需要分解这个过程,以避免遗漏或错误。
你知道吗?已知给定的函数方程,我们找出其所有的最大与最小点。这个方法是存在的,整个过程被我们成为 一阶导数测试。现在我们用一种避免遗漏和犯错的方式来分析这个过程。

示例:求 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction 的相对极值点

步骤 1: 求 f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
要求f的相对极值点,必须使用f, prime。所以我们先从微分f开始:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 2, x, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, end fraction
步骤2:找出所有临界点以及f未定义的点。
函数f的临界点是在f范围内,f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 或者 f, prime未定义的x值。我们同时还要注意函数 f 本身为未定义的点。
关于这些点我们必须要注意的是,两个连续的点之间 f, prime的符号须保持一致。
在这个例子中,这些点为x, equals, 0, x, equals, 1, 和 x, equals, 2
步骤 3: 分析递增或递减的区间
这可以通过多种方法来解决, 但我们比较习惯使用函数符号图。在函数符号图中, 我们根据步骤二求得的点界定所有区间,并从每个区间里选一个测试值,检查该值上导数的符号。
这是我们函数的符号图:
区间测试 x-值f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis结论
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0f 递增 \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, point, 5f, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f 递减 \searrow
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesisx, equals, 1, point, 5f, prime, left parenthesis, 1, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f 递减 \searrow
left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0f 递增 \nearrow
步骤 4:求极值点
我们知道f递增或递减的区间,我们可以找到其极值点。极值点就是f被定义并且 f, prime符号变更的点。
在本例中:
  • fx, equals, 0 之前递增,在该点之后递减,并在 x, equals, 0 时被定义。因此,fx, equals, 0 时具有一个相对最大点。
  • fx, equals, 2 之前递减,其后增加,在 x, equals, 2 时被定义。因此,fx, equals, 2 时具有相对最小点。
  • fx, equals, 1 时未定义, 因此没有极值点。
问题1
小杰需要找出 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 18, x, squared, plus, 54, x, plus, 50 的相对极值点。下面是他的解:
步骤 1 f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared
步骤 2 f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 的解为 x, equals, minus, 3
步骤 3 fx, equals, minus, 3 时具有相对极值。
小杰的计算是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:不检查关键点

记住: 我们不能假定任何关键点都是极值点。相反, 我们应该检查关键点, 看看在这些点上是否定义了函数以及这些点上的导数符号是否改变。
问题2
小艾需要找出函数g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, slash, 3, end superscript的相对极值点。下面是她的解:
步骤 1 g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 4, x, divided by, 3, cube root of, x, squared, minus, 1, end cube root, end fraction
步骤 2 :关键点是 x, equals, 0
步骤 3
区间测试 x-值g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis结论
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 3g, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0g 在减少 \searrow
left parenthesis, 0, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, is greater than, 0g 在增长 \nearrow
步骤 4gx, equals, 0之前递减并在之后递增,所以x, equals, 0是存在相对最小值,且不存在相对最大值。
小艾的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:没有包含导数未定义时的点

请注意: 当我们在分析上升或下降的区间时, 我们必须找到全部的临界点以及 全部导数未限定的点。如果你忘记了以上任何一个点,你很有可能会得到一张错的函数符号表。
问题3
小杰需要找出 h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction 是否存在相对最大值。下面是他的解法:
步骤 1h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis, divided by, x, cubed, end fraction
步骤 2: 临界点在x, equals, minus, 1x, equals, 1, 以及h, prime, left parenthesis, x, right parenthesisx, equals, 0未被定义。
步骤 3
区间测试 x-值h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis结论
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 1, right parenthesisx, equals, minus, 2h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 3, point, 75, is less than, 0h 递减 \searrow
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 0, point, 5h, prime, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0h 递增 \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, point, 5h, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 15, is less than, 0h 递减 \searrow
left parenthesis, 1, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, point, 75, is greater than, 0h 递增 \nearrow
步骤 4: hx, equals, 0 之前递增并在之后递减,所以 hx, equals, 0时,存在一个相对最大值。
小杰的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见问题:忘记检查函数域

请注意: 在我们找到函数在哪些点改变方向之后, 我们必须要检查函数在那些点上是否有定义。如果函数在某点无定义, 则此处不是一个相对极值。

练习使用一阶求导测试

问题 4
已知 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 6, x, squared, minus, 15, x, plus, 2
x为何值时 f 拥有相对 最大值
选出正确答案:

问题5
已知 g 为多项式函数,并已知 g, prime,其 导数,为 g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared
g的函数图像有多少个 相对最大值的点 ?
选出正确答案:

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