主要内容
微分学
求相对极值 (一阶导数判定)
一阶导数判定法的过程是用函数的一阶导数分析函数，以求出极值的过程。这涉及到多个步骤, 因此我们需要分解这个过程，以避免遗漏或错误。
你知道吗？已知给定的函数方程，我们找出其所有的最大与最小点。这个方法是存在的，整个过程被我们成为 一阶导数测试。现在我们用一种避免遗漏和犯错的方式来分析这个过程。
示例：求 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction 的相对极值点
步骤 1： 求 f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
要求f的相对极值点，必须使用f, prime。所以我们先从微分f开始：
步骤2：找出所有临界点以及f未定义的点。
函数f的临界点是在f范围内，f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 或者 f, prime未定义的x值。我们同时还要注意函数 f 本身为未定义的点。
关于这些点我们必须要注意的是，两个连续的点之间 f, prime的符号须保持一致。
在这个例子中，这些点为x, equals, 0, x, equals, 1, 和 x, equals, 2。
步骤 3: 分析递增或递减的区间
这可以通过多种方法来解决, 但我们比较习惯使用函数符号图。在函数符号图中, 我们根据步骤二求得的点界定所有区间，并从每个区间里选一个测试值，检查该值上导数的符号。
这是我们函数的符号图:
| 区间 | 测试 x-值 | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | 结论 |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0 | f 递增 \nearrow |
| left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis | x, equals, 0, point, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f 递减 \searrow |
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | x, equals, 1, point, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f 递减 \searrow |
| left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0 | f 递增 \nearrow |
步骤 4：求极值点
我们知道f递增或递减的区间，我们可以找到其极值点。极值点就是f被定义并且 f, prime符号变更的点。
在本例中：
- f 在 x, equals, 0 之前递增，在该点之后递减，并在 x, equals, 0 时被定义。因此，f 在 x, equals, 0 时具有一个相对最大点。
- f 在 x, equals, 2 之前递减，其后增加，在 x, equals, 2 时被定义。因此，f 在 x, equals, 2 时具有相对最小点。
- f 在 x, equals, 1 时未定义, 因此没有极值点。
常见错误：不检查关键点
记住： 我们不能假定任何关键点都是极值点。相反, 我们应该检查关键点, 看看在这些点上是否定义了函数以及这些点上的导数符号是否改变。
常见错误：没有包含导数未定义时的点
请注意: 当我们在分析上升或下降的区间时, 我们必须找到全部的临界点以及 全部导数未限定的点。如果你忘记了以上任何一个点，你很有可能会得到一张错的函数符号表。
常见问题：忘记检查函数域
请注意: 在我们找到函数在哪些点改变方向之后, 我们必须要检查函数在那些点上是否有定义。如果函数在某点无定义, 则此处不是一个相对极值。
练习使用一阶求导测试
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