If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

求相对极值 (一阶导数判定)

一阶导数判定法的过程是用函数的一阶导数分析函数,以求出极值的过程。这涉及到多个步骤, 因此我们需要分解这个过程,以避免遗漏或错误。
你知道吗?已知给定的函数方程,我们找出其所有的最大与最小点。这个方法是存在的,整个过程被我们成为 一阶导数测试。现在我们用一种避免遗漏和犯错的方式来分析这个过程。

示例:求 f(x)=x2x1 的相对极值点

步骤 1: 求 f(x)
要求f的相对极值点,必须使用f。所以我们先从微分f开始:
f(x)=x22x(x1)2
步骤2:找出所有临界点以及f未定义的点。
函数f的临界点是在f范围内,f(x)=0 或者 f未定义的x值。我们同时还要注意函数 f 本身为未定义的点。
关于这些点我们必须要注意的是,两个连续的点之间 f的符号须保持一致。
在这个例子中,这些点为x=0, x=1, 和 x=2
步骤 3: 分析递增或递减的区间
这可以通过多种方法来解决, 但我们比较习惯使用函数符号图。在函数符号图中, 我们根据步骤二求得的点界定所有区间,并从每个区间里选一个测试值,检查该值上导数的符号。
这是我们函数的符号图:
区间测试 x-值f(x)结论
(,0)x=1f(1)=0.75>0f 递增
(0,1)x=0.5f(0.5)=3<0f 递减
(1,2)x=1.5f(1.5)=3<0f 递减
(2,)x=3f(3)=0.75>0f 递增
步骤 4:求极值点
我们知道f递增或递减的区间,我们可以找到其极值点。极值点就是f被定义并且 f符号变更的点。
在本例中:
  • fx=0 之前递增,在该点之后递减,并在 x=0 时被定义。因此,fx=0 时具有一个相对最大点。
  • fx=2 之前递减,其后增加,在 x=2 时被定义。因此,fx=2 时具有相对最小点。
  • fx=1 时未定义, 因此没有极值点。
问题1
小杰需要找出 f(x)=2x3+18x2+54x+50 的相对极值点。下面是他的解:
步骤 1 f(x)=6(x+3)2
步骤 2 f(x)=0 的解为 x=3
步骤 3 fx=3 时具有相对极值。
小杰的计算是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:不检查关键点

记住: 我们不能假定任何关键点都是极值点。相反, 我们应该检查关键点, 看看在这些点上是否定义了函数以及这些点上的导数符号是否改变。
问题2
小艾需要找出函数g(x)=(x21)2/3的相对极值点。下面是她的解:
步骤 1 g(x)=4x3Ax213
步骤 2 :关键点是 x=0
步骤 3
区间测试 x-值g(x)结论
(,0)x=3g(3)=2<0g 在减少
(0,)x=3g(3)=2>0g 在增长
步骤 4gx=0之前递减并在之后递增,所以x=0是存在相对最小值,且不存在相对最大值。
小艾的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:没有包含导数未定义时的点

请注意: 当我们在分析上升或下降的区间时, 我们必须找到全部的临界点以及 全部导数未限定的点。如果你忘记了以上任何一个点,你很有可能会得到一张错的函数符号表。
问题3
小杰需要找出 h(x)=x2+1x2 是否存在相对最大值。下面是他的解法:
步骤 1h(x)=2(x41)x3
步骤 2: 临界点在x=1x=1, 以及h(x)x=0未被定义。
步骤 3
区间测试 x-值h(x)结论
(,1)x=2h(2)=3.75<0h 递减
(1,0)x=0.5h(0.5)=15>0h 递增
(0,1)x=0.5h(0.5)=15<0h 递减
(1,)x=2h(2)=3.75>0h 递增
步骤 4: hx=0 之前递增并在之后递减,所以 hx=0时,存在一个相对最大值。
小杰的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见问题:忘记检查函数域

请注意: 在我们找到函数在哪些点改变方向之后, 我们必须要检查函数在那些点上是否有定义。如果函数在某点无定义, 则此处不是一个相对极值。

练习使用一阶求导测试

问题 4
已知 f(x)=x3+6x215x+2
x为何值时 f 拥有相对 最大值
选出正确答案:

问题5
已知 g 为多项式函数,并已知 g,其 导数,为 g(x)=x(x+2)(x+4)2
g的函数图像有多少个 相对最大值的点 ?
选出正确答案:

想练习更多?试试 这个练习

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.