求相对极值 (一阶导数判定)

在上一个视频中，我们看到，假如一个函数 在x等于a时取最大值或最小值 那么a就是该函数的一个临界点 我们又看到这个命题的逆命题不一定成立 也就是说，x = a是临界点 并不意味着该函数在x = a时 一定取极大值或极小值 在本视频中我们要做的是 试图找出一个标准 它涉及该函数在x = a附近的导数 并据此确定该临界点 是否也是该函数的一个极值点 正如我们在上一个视频中所见 在这个点上 该函数取极大值 我们把这个临界点命名为x0 它之所以是临界点是因为该处的导数等于0 只要某个点处的导数等于0或无定义 这个点就是一个临界点 所以x0是一个临界点 让我们检查一下，当我们靠近x0时 导函数的行为 该函数若要在此点取极大值 趋近于此点时函数值必需增大 函数值增大，换句话说 就是斜率为正 虽然斜率并不固定，但它总是正的 也就是说函数值一直在增大 而斜率为正，换句话说， 就是当我们靠近该点时， 导函数大于0。 当我们经过该点之后又如何呢？ 在这个点上，斜率为0。 而在我们经过这个点之后， 怎样才能保证这个点是极大值呢？ 函数值必需减小 而函数值减小 意味着斜率为负 换句话说 也就是导数为负 看来我们已经找到了一个 判断函数在某临界点 是否取极大值的好标准 假设a是函数的一个临界点 如果当我们经过x = a时 f'(x)的符号由正变负 函数就在该点取极大值 这正是我们刚才所看到的 让我们检查一下这个标准在另一个极大值点 是否也成立 当我们靠近此处的这个点时 函数值上升 函数值上升意味着斜率为正 此处的情况与刚才有所不同 这里的斜率也在变化 但它是越变越陡 或者说越变越正 但它也总是正的 所以当我们靠近该点时斜率为正 而在我们经过该点后，斜率变成了负的 在这个点上，斜率没有定义 但在我们经过这个点时 斜率的确由正转负 所以它也符合我们刚才得到的辨识极大值点的标准 到目前为止我们的标准工作得很好 现在让我们检查一下此处的这个点 在上一个视频中我们已经确认了它是一个临界点 我记得当时我们把这个点标成x0，这是x1 这是x2 所以这应该是x3 让我们确认一下这个点并不满足 我们刚才的标准 因为它显然不是一个极大值点 当我们靠近这个点时，我们的斜率为负 而在我们经过这个点之后，斜率仍然为负 函数值仍在下降 所以斜率的符号并没有改变 如我们所愿，这并不符合我们的标准 现在让我们再来找出一个针对极小值点的标准 我想你应该能预见到这个标准是怎样的 在上一个视频中，我们已经确认过此处是 一个极小值点 这肉眼可见 我们只用看就能知道这是一个局部的极小值点 当我们靠近这个点时，函数的斜率会怎样呢？ 函数值在减小，也就是说 当我们靠近该点时，斜率为负 也就是说，当我们靠近该点时，f'(x)小于0 而在我们越过该点之后—— 如果函数值继续减小的话 这就不会是一个极小值点了 现在函数值得要上升 让我来换个颜色 所以，在经过该点后 函数值又开始上升了 此时f'(x)大于0 这看起来是个针对极小值点的好标准： 当我们经过点a时，f'(x)的符号要 由负转正 假设点a是函数的一个临界点 如果当我们经过点a时 函数导数的符号由负转正 那么函数就在点a处 取极小值 和刚才一样，此处的这个点 这个叫做x3的临界点并不符合此标准 函数的斜率先是负的 在该点处变为0，接着又还是负的 所以它既不是极小值点，也不是极大值点