递增与递减区间复习

函数递增（或递减）的区间对应于函数导数为正（或负）的区间。

因此，如果我们想要找到函数增加或减少的区间，我们可以对其求导并分析它的正负（这更容易做到！）。

让我们找到函数 $f(x)=x^3+3x^2-9x+7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7 递增和递减的区间。首先，我们对函数 $f$f 求导:

$f'(x)=3x^2+6x-9$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9

现在我们要找出 $f'$f, prime 是正的还是负的区间。

当 $x=-3$x, equals, minus, 3 以及 $x=1$x, equals, 1 时，$f'$f, prime 与 $x$x 轴相交，因此它的符号在以下每个区间都必须是常数：

让我们检查一下 $f'$f, prime 在每个区间的值，看看它在该区间内是正还是负。

所以当 $x<-3$x, is less than, minus, 3 或者当 $x>1$x, is greater than, 1 时，$f$f 递增；当 $-3<x<1$minus, 3, is less than, x, is less than, 1 时，$f$f 递减。

让我们找到函数 $f(x)=x^6-3x^5$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript 递增和递减的区间。首先，我们对函数 $f$f 求导：

$f'(x)=6x^5-15x^4$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript

现在我们要找出 $f'$f, prime 是正的还是负的区间。

当 $x=0$x, equals, 0 以及 $x=\dfrac52$x, equals, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction 时，$f'$f, prime 与 $x$x 轴相交，因此它的符号在以下每个区间都必须是常数：

让我们检查一下 $f'$f, prime 在每个区间的值，看看它在该区间内是正还是负。

由于 $f$f 在 $x=0$x, equals, 0 之前 和 在 $x=0$x, equals, 0 之后递减，所以在 $x=0$x, equals, 0 时也递减。

因此，$f$f 在 $x<\dfrac52$x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction 时递减，在 $x>\dfrac52$x, is greater than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction 时递增。