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主要内容

中值定理的条件:函数可微

只有函数是可微的,中值定理才能应用。了解为什么会这样, 以及如何确定定理是否可以应用于某个问题。
中值定理(MVT)是一个类似介值定理(中间值定理,IVT)和极值定理(EVT)的存在定理。我们的目标是要理解中值定理以及知道怎么去应用它。

中值定理以及它的成立条件

中值定理确保,一个函数在区间 ab之间可导,那么该区间内存在一个数字 c 使得 f(c) 等于函数在该区间内的平均变化率。
f(c)=f(b)f(a)ba
从图像上来说,该定理保证了在一段有两个端点的圆弧内必有一个点的切线平行于穿过两个端点的割线。
中值定理可应用的确切条件为:f 在开区间 (a,b) 之间可导,且在闭区间 [a,b] 之间连续。因为可导性意味着连续性,所以我们也把这个条件描述为在 (a,b) 之间可导,在 x=ax=b 时连续。
如果我们想要数学般的精确,使用类似 ab 的参数,且讨论开区间和闭区间是重要的。但是这些条件实质上意味着:
想要应用中值定理,那么函数必须在相关区间内可导,且在区间边缘连续。

为什么在区间内可导很重要。

想要理解为什么该条件很重要,看看函数 f。该函数在 x=ax=b 之间有一个尖锐的转折点,所以它不能在 (a,b) 之间可导。
实际上,该函数只可能有两条切线,且没有一条平行于 x=ax=b 之间的割线。

为什么边缘的连续性很重要。

想要理解这一点,看看函数 g
只要 g 在区间 (a,b) 内可导,且在 x=ax=b 上连续,那么中值定理即适用。
现在,让我们变一下 g,使得它在 x=b 上不连续。换言之,limxbg(x) 一边的极限保持一样,但是函数的值却变了。
注意,区间内的所有可能的切线都在必要的增加,而割线却在减小。因此没有任何切线能与割线平行。
总体来说,如果函数在边缘不连续,割线会与沿着区间的切线断开。
在第一组题目中,我们将要在不同的区间分析中值定理在函数 h 上的应用。
问题 1.A
中值定理是否适用在区间 [5,1] 内的 h 呢?
选出正确答案:

问题2
函数 f 的图像在 x=2 时有一个垂直的切线。
中值定理是否适用在区间 [1,5] 内的 f 呢?
选出正确答案:

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注意:当中值定理不适用时,我们能说的只能是我们不确定结论是否为真。它并 意味着该结论 不为 真。
换言之,即使当中值定理不适用时,也有可能存在一个点的切线与割线平行。我们只是不能 确定 它,除非满足了中值定理的条件。
例如,在最后一个问题中,中值定理不在区间 [1,5] 内适用 f,即使确实在区间 [1,5] 中有两个点的切线是平行于两个端点间的割线的。
问题3
这个表格给了一些函数 h 的值。
x371011
h(x)1526
小詹说因为 h(7)h(3)73=1,所以区间 [3,7] 内一定有一个 c 使得 h(c)=1
需要哪些条件使得小詹所说为真呢?
选出正确答案:

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常见错误:无法看出什么时候满足条件

让我们以题目3为例。这些是我们所常见的中值定理的条件看起来的样子:
  • h(3,7) 内可导且在 [3,7] 内连续。
  • h(3,7) 内可导,且在 x=3x=7 内连续。
但是,我们并不会总是给到像这样的关于函数的信息。例如,如果 h[3,7] 内可导,那么条件就满足了,因为可导意味着连续。
另一个例子是当 h 在一个较大的区间内可导,例如 (2,8)。即使连续性未被提及,但 (2,8) 内的可导性意味着 (3,7) 内的可导性以及 [3,7]内的连续性。
问题 4
f 是一个可导函数。f(1)=2f(5)=2
配对结论与其适用的存在定理。
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常见错误:使用错误的存在定理

到现在为止,我们熟悉了三种不同的存在定理:介值定理(中间值定,IVT),极值定理(EVT),和中值定理(MVT)。它们有一个类似的结构但他们在不同的条件下适用,且确保存在不同类型的点。
  • 介值定理(中间值定理)确保存在点,使得 函数 的值必定在两个给定值之间。
  • 极值定理确保存在点,使得 函数 有一个最大值或最小值。
  • 中值定理确保存在点,使得 导数 有一个确定值。
在适用任一存在定理时,确保你很好的理解了题目告诉你该用哪条定理。

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