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主要内容

中值定理的条件:函数可微

只有函数是可微的,中值定理才能应用。了解为什么会这样, 以及如何确定定理是否可以应用于某个问题。
中值定理(MVT)是一个类似介值定理(中间值定理,IVT)和极值定理(EVT)的存在定理。我们的目标是要理解中值定理以及知道怎么去应用它。

中值定理以及它的成立条件

中值定理确保,一个函数在区间 ab之间可导,那么该区间内存在一个数字 c 使得 f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis 等于函数在该区间内的平均变化率。
f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, b, minus, a, end fraction
从图像上来说,该定理保证了在一段有两个端点的圆弧内必有一个点的切线平行于穿过两个端点的割线。
函数图已经绘制了。 正x轴未标记。 该图形是条曲线。 曲线从原点的一个闭合圆开始,向上移动到一个峰值,稍微向下移动,并在第1象限的一个闭合圆处结束。正割线连接了曲线的端点。 切线平行于割线绘制,并在端点之间的某一处碰触曲线。
中值定理可应用的确切条件为:f 在开区间 left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis 之间可导,且在闭区间 open bracket, a, comma, b, close bracket 之间连续。因为可导性意味着连续性,所以我们也把这个条件描述为在 left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis 之间可导,在 x, equals, ax, equals, b 时连续。
如果我们想要数学般的精确,使用类似 ab 的参数,且讨论开区间和闭区间是重要的。但是这些条件实质上意味着:
想要应用中值定理,那么函数必须在相关区间内可导,且在区间边缘连续。

为什么在区间内可导很重要。

想要理解为什么该条件很重要,看看函数 f。该函数在 x, equals, ax, equals, b 之间有一个尖锐的转折点,所以它不能在 left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis 之间可导。
函数f被绘制。 从左到右的x轴正值包括数值a和b。 该图是一组线段。 该组集合从x = a上方的闭合圆开始,向上急转弯,向下移动,并在x = b处高于起始点的闭合圆处完结。
实际上,该函数只可能有两条切线,且没有一条平行于 x, equals, ax, equals, b 之间的割线。
函数f的图形具有2条切线和一条割线。 切线A从第3象限开始,沿上线段向上移动,并在第1象限处终止。 切线B从象限1开始,沿向下的线段向下移动,并在象限1结束。割线连接线段的两个端点。

为什么边缘的连续性很重要。

想要理解这一点,看看函数 g
函数g被绘制。 x轴正值从左到右包括数值a和b。 该图是一条曲线。 曲线从x = a上方的闭合圆开始,随着陡度的增加而向上移动,并在x = b处的闭合圆处结束。
只要 g 在区间 left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis 内可导,且在 x, equals, ax, equals, b 上连续,那么中值定理即适用。
函数g的图具有切线和割线。 切线从第4象限开始,向上移动,接触曲线,然后在第1象限结束。割线连接曲线的两个端点。
现在,让我们变一下 g,使得它在 x, equals, b 上不连续。换言之,limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis 一边的极限保持一样,但是函数的值却变了。
函数g被绘制。 x轴正值从左到右包括数值a和b。 该图是一条曲线。 曲线从x = a上方的闭合圆开始,随着陡度的增加而向上移动,在x = b处的开放圆处结束。 在x = b处绘制了一个封闭点,该点在x = a处的起点以下。 割线连接2个闭合的圆。
注意,区间内的所有可能的切线都在必要的增加,而割线却在减小。因此没有任何切线能与割线平行。
总体来说,如果函数在边缘不连续,割线会与沿着区间的切线断开。
在第一组题目中,我们将要在不同的区间分析中值定理在函数 h 上的应用。
问题 1.A
  • 当前
函数h已绘图。x轴从负8到8。图由一条曲线与一组线段组成。曲线从第1象限开始,向下移动,垂直移动通过(-6、3),并在闭合圆弧处(-3,-3)结束。 集合从(-3,-5)的空心圆开始,在(6,4)处向上移动到急转弯,在(8,2)处结束。
中值定理是否适用在区间 open bracket, minus, 5, comma, minus, 1, close bracket 内的 h 呢?
选出正确答案:

问题2
函数 f 的图像在 x, equals, 2 时有一个垂直的切线。
中值定理是否适用在区间 open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket 内的 f 呢?
选出正确答案:

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注意:当中值定理不适用时,我们能说的只能是我们不确定结论是否为真。它并 意味着该结论 不为 真。
换言之,即使当中值定理不适用时,也有可能存在一个点的切线与割线平行。我们只是不能 确定 它,除非满足了中值定理的条件。
例如,在最后一个问题中,中值定理不在区间 open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket 内适用 f,即使确实在区间 open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket 中有两个点的切线是平行于两个端点间的割线的。
函数f 已绘制。x轴从负2到8。图由一条曲线组成。 曲线从第3象限开始,向下移动到点(-1,-3),向上移动,垂直移动通过(2,0),继续到点(5,3),向下移动,并在(8,0 )结束。 两条平行的切线分别从第3象限开始,向上移动,在第1象限结束。上切线在大约(2.8,2.2)处接触曲线。 下切线在约(1.2,-2.2)处接触曲线。 割线连接点(-1,-3)和(5,3)。
问题3
这个表格给了一些函数 h 的值。
x371011
h, left parenthesis, x, right parenthesis15minus, 2minus, 6
小詹说因为 start fraction, h, left parenthesis, 7, right parenthesis, minus, h, left parenthesis, 3, right parenthesis, divided by, 7, minus, 3, end fraction, equals, 1,所以区间 open bracket, 3, comma, 7, close bracket 内一定有一个 c 使得 h, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 1
需要哪些条件使得小詹所说为真呢?
选出正确答案:

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常见错误:无法看出什么时候满足条件

让我们以题目3为例。这些是我们所常见的中值定理的条件看起来的样子:
  • hleft parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis 内可导且在 open bracket, 3, comma, 7, close bracket 内连续。
  • hleft parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis 内可导,且在 x, equals, 3x, equals, 7 内连续。
但是,我们并不会总是给到像这样的关于函数的信息。例如,如果 hopen bracket, 3, comma, 7, close bracket 内可导,那么条件就满足了,因为可导意味着连续。
另一个例子是当 h 在一个较大的区间内可导,例如 left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis。即使连续性未被提及,但 left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis 内的可导性意味着 left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis 内的可导性以及 open bracket, 3, comma, 7, close bracket内的连续性。
问题 4
f 是一个可导函数。f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 2f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2
配对结论与其适用的存在定理。
1

常见错误:使用错误的存在定理

到现在为止,我们熟悉了三种不同的存在定理:介值定理(中间值定,IVT),极值定理(EVT),和中值定理(MVT)。它们有一个类似的结构但他们在不同的条件下适用,且确保存在不同类型的点。
  • 介值定理(中间值定理)确保存在点,使得 函数 的值必定在两个给定值之间。
  • 极值定理确保存在点,使得 函数 有一个最大值或最小值。
  • 中值定理确保存在点,使得 导数 有一个确定值。
在适用任一存在定理时,确保你很好的理解了题目告诉你该用哪条定理。

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