中值定理示例：多项式

我们有某个函数 f(x)， 它的定义是，对所有的 x ， f(x) = x平方 - 6x + 8， 我要让大家知道，对于这个函数， 我们一定能够在一个区间里找到一个 c 使得在点 c 的导数等于 这个区间的平均变化率。 我们来确定这个区间， 我们关心的区间是在 2 和 5 之间， 这个函数在这个闭区间绝对是连续的， 它在这个区间是可微的， 它仅需要 在开区间是可微的，但这个函数 对所有的 x 都是可微的。 现在我们来说明我们可以 在这个开区间里面找到一个 c ， 它是开区间中的一个成员， 它在这个开区间内，在 c 点的导数 等于这个区间的平均变化率， 或者说等于 这个区间的两个终点的割线的斜率， 它等于 f(5) - f(2) 除以 5-2， 现在我鼓励你们暂停视频， 尝试去找到能使它成立的 c ， 要做到这一点，我们只需要计算它必须等于什么， 让我们求出导数，然后设它们相等， 我们应该可以解出 c ， 我们看 f(5) - f(2)，f(5) 就是 f(5) 等于 25 - 30 + 8， 是 -5 + 8 等于 3， f(2) 等于 2 的平方减12 就是 4 - 12 + 8 就是 0， 这就等于 3/3 等于 1， f '(c) 需要等于 1， 它的导数是什么？ 我们看，f '(x) = 2x - 6， 然后，我们需要算出，x 的值是什么时， 特别是它一定要在这个开区间， 在哪个 x 值，它就等于 1， 它需要等于 1， 两边加上 6， 你得到 2x = 7， x = 7/2，也就是 3又1/2， 它绝对是在这个区间里， 我们刚刚发现 c = 7/2， 我们来画出它的图像， 从而确认这是正确的。 这是我们的 y 轴， 这是我们的 x 轴， 看起来，所有图像 都发生在第一和第四象限， 这是我们的 x 轴， 我们看，这是 1，2，3，4，和 5 我们已知，2 是一个函数为 0 的点， 我们已知我们的函数，如果画出图像 它在这里和 x 轴相交， 你可以进行因式分解，成为 （x-2) 乘以 (x-4)， 在另一个地方函数为零， 就是这里 x = 4， 我们的顶点在两者之间，在 x = 3， 当 x = 3，我们来看，9 - 18 = -9 加上 8 ，就是 -1， 这里，你有点 （3，-1） 这些足够让我们画出图像了， 我们还知道，在 5 这一点，函数值为 3， 那么，1，2，3 在 5 ，函数值在这里， 在我们关心的区间， 我们的图像就是这样的， 这就是我们所关心的区间， 我们说，我们在 寻找一个 c 点，它的斜率 与割线斜率， 与这两点之间的直线的斜率相同。 如果我们只是用目测，我会说 根据我的图像，它看着就在这周围， 这个切线的斜率看着平行于-- 看起来有相同的斜率， 这个切线和这个割线平行， 看起来它就在 3 又 1/2 ，或者说 7/2， 这是正确的， 所以，这里就是我们的 c 点，c = 7/2。