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中值定理示例:平方根函数

小萨求出了 f(x)=√(4x-3) 在区间 [1,3] 上满足中值定理的的数值。

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视频字幕

函数 f(x) 等于 根下 4x - 3,要让 c 成为 能够满足 这个函数在 1 和 3 闭区间的均值定理的数字, 也就是 1 小于等于 x, x 小于等于 3, c 是什么? 我们回顾一下, c 满足函数的均值定理是什么意思, 它的涵义就是,在这个区间, c 是一个点, x = c 是一个点, 在 x = c 这一点,切线的斜率,我可以把它写成 f '(c), 这就是 在 x= c 时切线的斜率, 它等于这个 连接这两点的割线的斜率, 它就等于 我们看 连接点 (3,f(3))和 (1,f(1) ) 的割线斜率, 它就是 f(3) - f(1) 除以 3 - 1, 如果我们要想从它的图像去考虑, 它是这样的, 如果这是我们的 x 轴, 这是 1,2, 我把它展开一点, 1,2,3, 你有 1, f(1),在这里, 在这一点,1,f(1), 我们计算出它的值, 这是 1,1, 就是点 (1,1) 然后,你有 点 3, 我们看一下,你有 4 乘以 3 是 12, 减去 3 是 9,它就是 (3,3) 大概就在这里,3,3 这个曲线大概看起来是这样, 大概是这样, 如果我们考虑 连接这两个点的直线的斜率, 这就是连接两点的直线, 均值定理的全部-- 我用不同的颜色-- 均值定理告诉我们 在1 和 3 之间存在一个点, 在那个点的切线有相同的斜率, 如果我目测一下, 它看起来就在这附近, 尽管我们实际上是要求解它, 某个点的切线斜率 等于 连接两个终点 和它们相应的函数值的直线的斜率, 这个就是 c, 我们必须求解它, 首先,我们求出 f '(x) 是什么, 然后,我们代入 c, 然后,我们求右边的值, 我重新写一下 f(x), f(x) 等于,我要把它写成 (4x - 3 ) 的 1/2次方 使它在我们使用指数法则 和链式法则时更加清晰, f '(x) 就是 (4x - 3 ) 的 1/2次方 对 (4x - 3 ) 的导数 它就是 1/2乘以 (4x - 3 ) 的 -1/2次方, 然后,我们要把它 乘上 (4x - 3 ) 对 x 的导数, 4x 对 x 的导数是 4, 而 -3 对 x 的导数 它只是一个 0, (4x - 3 ) 对 x 的导数就是 4, 乘以 4, 所以 f '(x) 等于 4 乘以 1/2 就是 2 除以根下 (4x - 3 ) (4x - 3 ) 的 1/2 次方 就是根下 (4x - 3 ) 但它是负的 1/2, 所以,我们要把它放在分母上, 这样 f '(c),我们可以写成 2 除以 根下 (4c - 3 ) 它等于什么呢? 它将要等于,我们来看, f(3) 我们已经算出来是 3, f(1) 我们已经算出来是 1, 我们得到 3-1 除以 3-1, 就是 2 除以 2,它等于 1, 在 1 和 3 之间,存在一个点 在这个点的导数 切线的斜率等于 1, 我们看看是不是能把它解出来, 我们可以把两边乘以 根下 (4c - 3 ) , 我们就会得到 2 等于根下 (4c - 3 ) , 我做的就是两边都乘以 根下 (4c - 3 ), 从而去掉这个分母, 现在我们看,我们去掉了分式, 我们可以两边平方, 我们把它写出来, 我们对两边平方, 我们就得到 4 等于 4c - 3 , 两边加上 3,7 等于 4c, 然后两边除以 4, 我写在这里, 你就会得到 c = 7/4, c = 7/4, 也就是等于 1 又 3/4 或者写成 1.75, 实际上,c 很靠近 我徒手画出的, 它在我的图上,接近这里, 看起来相当不错, 我徒手画出这个曲线,肯定不精确, 但无论如何,希望 它能让你意识到我们在做什么, 就是说,均值定理 告诉我们,在 c 点的渐近线的斜率 和连接 (1,f(1)) (3,f(3)) 这两个点的直线的斜率相等。